第五节-函数的极值与最大值最小值.docx

第五节 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法定义 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有（或），那么就称是函数的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点定理1 （必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，则定理2（第一充分条件）设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导（1）若当时，而当时，则在处取得极大值；（2）若当时，而当时，则在处取得极小值；（3）若当时，的符号保持不变，则在处不取得极值例1 求函数的极值解 在内可导，除外处处可导，且解方程得函数的驻点易知为函数的不可导点在内，；在，故是函数的一个极大值点又因在内，故是函数的一个极小值点极大值为，极小值为定理2（第二充分条件） 设函数在处具有二阶导数且，则（1）当时，函数在处取得极大值；（2）当时，函数在处取得极小值例2 求函数的极值解 解方程，得驻点因，故在处取得极小值因，故用定理3无法判别当取左侧邻近的值时，；当取右侧邻近的值时，函数在处不取极值同理，在处不取极值二、最大值最小值问题求闭区间上连续函数的最大值最小值的方法如下：（1）求出在内的驻点及不可导点；（2）计算在上述驻点、不可导点处的函数值及，；（3）比较（2）中诸函数值的大小，其中最大的就是在区间上的最大值，最小的就是在区间上的最小值例3 求函数在上的最大值与最小值解 在内，的驻点为；不可导点为因为，所以在上的最大值为，最小值为例4 铁路上段的距离为100km工厂距处20km，垂直于（如图所示）为了运输需要，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为为了使货物从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？解 设km，则km，设铁路上每千米的运费为，公路上每千米为（为某个正数），从点到点需要的需要的总运费为，则该函数的导数为方程的解为因为，所以该函数在区间上的最小值为因此当km时，总运费最省习题3-5 1.求下列函数的极值：（1）；解 令得驻点由知为极大值，由知为极小值（3）；解 令得驻点由知为极大值由知为极大值由知为极小值（5）；解 令得驻点当时，因此函数在上单调增加；当时，因此函数在上单调减少，从而为极大值6.求下列函数的最大值、最小值：（1）；解 函数的导数为令得驻点比较，得函数的最大值为，最小值为（2）；解 函数的导数为令得驻点（舍去），比较，得函数的最大值为，最小值为（3）解 函数的导数为令，得驻点比较，得函数的最大值为最小值为10.某车间靠墙要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 如图，设这间小屋的的宽为，长为，则小屋的面积为已知，即，故令，得驻点由知为极大值点，又驻点唯一，故极大值点就是最大值点，即当宽为m，长为m时，这间小屋的面积最大12.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示）截面的面积为问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解 设截面的周长为，已知及，