2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质练习（含解析）新人教A版选修.docx

2.4.2抛物线的简单几何性质1.设AB为过抛物线y2=2px (p0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为(C)(A)(B)p(C)2p(D)无法确定解析:当AB垂直于对称轴时,|AB|取最小值,此时AB为抛物线的通径,长度等于2p.故选C.2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(B)(A)9(B)8(C)7(D)6解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.3.抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点(-5,2)到焦点的距离为6,则抛物线方程为(D)(A)y2=-2x(B)y2=-4x(C)y2=2x(D)y2=-4x或y2=-36x解析:因为抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,设y2=2px,则焦点坐标为(,0),因为点(-5,2)到焦点的距离为6,所以(-5-)2+(2-0)2=62,即(5+)2=16,所以5+=4或5+=-4,解得p=-2或p=-18,所以y2=-4x或y2=-36x,故选D.4.设经过抛物线y=ax2(a0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线在第一象限的交点为A,过A作x轴的垂线,垂足为B,若ABF的面积为,则实数a的值为(D)(A)4(B)2(C)1(D)解析:设抛物线方程为x2=2py(p0),由题意知FAB=,延长AB交准线于C,故AFC是正三角形,又点F到准线的距离为p,知|FC|=2p,ABF的面积为,即2ppsin =,得p=1,所以a=.故选D.5.(2015全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|等于(B)(A)3(B)6(C)9(D)12解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线l的方程为x=-2,设椭圆E的方程为+=1(ab0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆E的离心率为,所以a=4,b=2,椭圆E的方程为+=1,联立,解得A(-2,3),B(-2,-3)或A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选B.6.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n的关系是(A)(A)m+n=mn(B)m+n=4(C)mn=4 (D)无法确定解析:设抛物线焦点弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2).抛物线y2=4x的焦点为(1,0),当焦点弦与抛物线的对称轴垂直时,m=2,n=2,所以m+n=mn.当焦点弦与抛物线的对称轴不垂直时,设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k0).把y=k(x-1)代入y2=4x并整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,所以x1x2=1.因为m=x1+1,n=x2+1,所以x1=m-1,x2=n-1,代入x1x2=1,得(m-1)(n-1)=1,即m+n=mn.故选A.7.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是(C)(A)(0,2) (B)0,2(C)(2,+)(D)2,+)解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2,由圆与准线相交知416,所以8y0+(y0-2)216,即有+4y0-120,解得y02或y02,故选C.8.已知抛物线y=x2-1上的一定点B(-1,0)和两个动点P,Q,当BPPQ时,点Q的横坐标的取值范围是(C)(A)(-,-31,+)(B)-3,1(C)(-,-31,)(,+)(D)1,+)解析:设P(t,t2-1),Q(s,s2-1),因为BPPQ,所以=-1,即t2+(s-1)t-s+1=0,因为tR,P,Q是抛物线上两个不同的点,所以必须有=(s-1)2+4(s-1)0.即s2+2s-30,解得s-3或s1.由t=-1,代入t2+(s-1)t-s+1=0,可得s=,此时P,B重合,故s.所以Q点的横坐标的取值范围是(-,-31,)(,+).故选C.9.已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为.解析:抛物线y2=2px(p0)的准线为x=-,圆x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16,则圆心为(3,0),半径为4.又因为抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,所以3+=4,解得p=2.答案:210. 已知抛物线y=x2的焦点为F,过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到x轴的距离等于.解析:由题意,抛物线y=x2的焦点坐标为(0,),准线方程为y=-,根据抛物线的定义,因为|AB|=4,所以A,B到准线的距离和为4,所以弦AB的中点到准线的距离为2,所以弦AB的中点到x轴的距离为2-=.答案:11.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是.解析:设AB的方程为x=my+4,代入y2=4x得y2-4my-16=0,则y1+y2=4m,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32,当m=0时,+最小为32.答案:3212.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4x.由题意知过点P的直线为y=kx+k(k0),要使机器人接触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得y2-y+k=0,即=1-k21或k0)上,求这个正三角形的边长.解:如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.又|OA|=|OB|,所以+=+,即-+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x10,x20,2p0,所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即点A,B关于x轴对称.由此得AOx=30,所以y1=x1,与=2px1联立,得y1=2p.所以|AB|=2y1=4p.14.已知A,B是抛物线C:y2=2px(p0)上不同的两点,点D在抛物线C的准线l上,且焦点F到直线x-y+2=0的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线AB过焦点F,且直线AD过原点O,求证:直线BD平行x轴.(1)解:抛物线C:y2=2px的焦点F(,0),由题意可得d=,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)证明:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1.设直线AB:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线方程,可得y2-4ty-4=0,即有y1y2=-4,直线AD:y=x,则有D(-1,-),由于-=-=-=y2,故直线BD平行x轴.15.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程.解:设抛物线的方程为y2=2ax(a0),则消去y,得4x2-(2a-4)x+1=0,设直线y=2x+1与抛物线交于A,B两点,其坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2 =,x1x2=.|AB|=|x1-x2|=.则=,a2-4a-12=0,解得a=-2或a=6.所以y2=-4x或y2=12x.16.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20,y10,y20,由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.因为|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+=x2+2,且|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2. 由得x2=1,所以B(1,2),代入y=k(x+2),得k=.故选D.17.抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是(C)(A)(B)(C)(D)名师点拨:设|AF|=a,|BF|=b,由梯形中位线定理知|MN|=,欲求的最大值,只需求出|AB|的最小值.在ABF中,运用余弦定理和基本不等式即可.解析:设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BP.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.在ABF中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos =a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2-ab,又因为ab()2,所以(a+b)2-ab(a+b)2-()2=(a+b)2,得到|AB|(a+b),所以=,即的最大值为.故选C.18.已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p=.解析:如图, 由AB的斜率为,知=60,又=,所以M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P,则ABP=60,所以BAP=30,所以|BP|=|AB|=|BM|.所以M为抛物线C的焦点,即=1,所以p=2.答案:219.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是.解析:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率k不存在时,符合条件的直线l必有两条.当k存在时,x1x2,则有=2,又y1+y2=2y0,所以y0k=2.由CMAB,得k=-1,即y0k=5-x0,因此2=5-x0,x0=3,即M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x,得y2=12,则有-2y02.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+=r2,故r2=+44(为保证有4条,在k存在时,y00),所以4r216,即2r0),由1+=|NF|=2,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)F(1,0),设直线l方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以x1+x2=.因为|AB|=8,所以+2=8,化