2019_2020学年高中数学第1章三角函数77.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学案北师大版必修4.docx

71正切函数的定义 72正切函数的图像与性质学 习 目 标核 心 素 养1.能借助单位圆中的正切线画出函数ytan x的图像2掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点)3注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点).1.通过借助单位圆中的正切线画出函数ytan x的图像体会数学直观素养2通过学习正切函数的性质解决正切函数与正、余弦函数的综合问题提升数学运算素养.1正切函数的定义(1)正切函数的定义在直角坐标系中，如果角满足：R，k(kZ)，且角的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角的正切函数，记作ytan ，其中R，k(kZ)(2)正切线如图所示，线段AT为角的正切线思考1：设角的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？提示当a0时，有意义tan .2正切函数的图像与性质图像性质定义域值域R奇偶性奇函数周期性周期为k(kZ，k0)，最小正周期为单调性在，kZ上是增加的对称性该图像的对称中心为，kZ思考2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？提示不能正切函数ytan x在每段区间(kZ)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数1若角的终边上有一点P(2x1,3)，且tan ，则x的值为()A7B8C15D.B由正切函数的定义知tan ，解得x8.2函数ytan x的对称中心坐标为()A(k，0)(kZ)B(kZ)C(kZ)D(2k，0)(kZ)Cytan x的图像与x轴的交点以及x轴上使ytan x无意义的点都是对称中心3函数ytan 2x的定义域为_由正切函数的定义知，若使ytan 2x有意义，则2xk(kZ)解得x(kZ)4函数ytan x，x的值域是_0,1函数ytan x在上是增加的，所以ymaxtan1，ymintan 00.正切函数的概念【例1】已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，求sin 、cos 、tan 的值解r5|a|，若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos .tan ；若a0，则r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .1解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan .2已知角终边上的一点M(a，b)(a0)，求该角的正切函数值，或者已知角的正切值，求角终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置1角的终边经过点P(b,4)且cos ，求tan 的值解由题意知cos ，b3.又cos 0，P在第二象限，b3.tan .正切函数的图像【例2】作出函数ytan|x|的图像，判断函数的奇偶性及周期性思路探究去掉绝对值号，先作出x0时的图像，再利用图像变换作出x0时的图像解ytan |x|当x0时，函数ytan|x|在y轴右侧的图像即为ytan x在y轴右侧的图像当x0时，f(x)在(kZ)上单调递减，当a0时，f(x)在上单调递减，故x时，f(x)maxa，无最小值f(x)的值域为(，a当a0时，f(x)在上单调递增，当x时，f(x)mina.无最大值f(x)的值域为a，)对于形如yAtan(x)(A，为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解.如果0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.1作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x，x，然后描出三个点(0,0)，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可2正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为1,1，正切函数是无界函数，值域为R.(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R，正切函数的图像是不连续的，定义域为.(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间(kZ)上都是增加的.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数为定义域上的增函数()(2)正切函数存在闭区间a，b，使ytan x是增函数()(3)若x是第一象限的角，则ytan x是增函数()(4)正切函数ytan x的对称中心为(k，0)，kZ.()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)tan的单调递增区间为()A，kZB(k，(k1)，kZC，kZD，kZC由kxk，kZ.解得kxk，故选C.3若角的终边经过点A，且t