北师大版 九年级上册数学全部教案集

第一章 证明（二）1. 你能证明它们吗（一）本章总体设计介绍本章是八年级下册第六章证明（一）的继续，教科书首先给出四条公理，这四条公理与证明（一）中给出的两条公理一起作为这一章继续对命题进行证明的逻辑基础。在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形有关，主要包括：1.等腰三角形的性质和判定定理；2.直角三角形的性质定理和判定定理；3.线段的垂直平分线性质和判定定理；4.角平分线性质定理和判定定理。本章教学建议1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。1. 你能证明它们吗（一）一、教学目标：（1）知识目标：1.理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；2.在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；3.熟悉证明的基本步骤和书写格式。（2）能力目标：1.经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；2.鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；（3）情感与价值目标1.启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；2.培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.二教学重、难点 重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。三. 教学方法：探索发现猜想证明四教学过程回顾旧知 导出公理请学生回忆并整理证明（一）中列出的六条公理：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；6.全等三角形的对应边相等,对应角相等。在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明。已知：如图，A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.证明：A=D,B=E（已知），又A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180），C=180-(A+B)，F=180-(D+E)，C=F（等量代换）。又BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）。折纸活动 探索新知等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”明晰结论和证明过程还有其他证明办法吗？推 论：等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合随堂练习 P4第1、2题：课堂小结1、具体有关性质定理；2、通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性布置作业P5习题1,2.教学反思1. 你能证明它们吗（二）一、教学目标1知识目标：探索发现猜想证明等腰三角形中相等的线段，证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题；2能力目标：经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；引导学生体会蕴含在问题解决过程中的思想方法，如归纳、类比、反证法等。3情感与价值观要求鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性二教学重、难点重点：经历“”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论结合实例体会反证法的含义难点：由一般结论归纳出特殊结论探求证明思路，特别是反证法的思路含义三、教学方法：探索发现一一猜想证明四、教学过程提出问题，引入新课在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD、CE是ABC的角平分线求证：BD=CE证法1：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)1=ABC，2=ABC，1=2在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2：证明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC和ACE中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)议一议在课本图14的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?把底角二等份的线段相等如果是三等份、四等份结果如何呢?在等腰三角形ABC中，如果ABD=ABC，那么BD=CE这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似证明如下：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)又ABD=ABC, ACE=ACB,ABD=ACE在BDC和CEB中，ABD=ACE，BC=CB，ACB=ABC,BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)如果在ABC中，AB=AC, ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE也是成立的因为AB=AC，所以ABC=ACB，利用等量代换便可得到ABD=ACE，BDC与CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE由此我们可以发现：在ABC中，AB=AC，ABD=ABC，ACE=ACB，就一定有BD=CE成立也可以更直接地说：在ABC中，AB=AC，ABD=ACE，那么BD=CE在ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE由此我们得到了一个更一般的结论：在ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE证明如下：AB=AC又AD=AC，AE=AB，AD=AE在ADB和AEC中，AB=AC，A=A，AD=AE，ADBAEC(SAS)BD=CE(全等三角形的对应边相等)一般结论也可更简洁地叙述为：在ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?如图，在ABC中，B=C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了你是如何想到的? 由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把ABC分成两个全等的三角形同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论我们组发现，如果作BC的中线，虽然把ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的后两种方法是可行的那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来，我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形这一定理可以简单叙述为：等角对等边我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美反证法我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?我认为这个结论是成立的因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的”的确如此像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢?我们来看一位同学的想法：如图，在ABC中，已知BC，此时AB与Ac要么相等，要么不相等假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得C=B，但已知条件是BC“C=B”与已知条件“BC”相矛盾，因此ABAC你能理解他的推理过程吗?再例如，我们要证明ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设A=90，B=90，可得A+B=180，但ABC中A+B+C=180, “A+B=180”与“A+B+C=180”相矛盾，因此ABC中不可能有两个直角引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法 随堂练习 已知：如图，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2求证：AB=AC证明：ADBC，1=B(两直线平行，同位角相等)，2=C(两直线平行，内错角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角对等边)课时小结本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义布置作业课本P9 习题12 第2、3题教学反思1. 你能证明它们吗（三）一、教学目标：（1）知识目标：1.理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。（2）能力目标：1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维2.经历实际操作，探索含有30角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。（3）情感与价值观要求1.积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二、教学重点1等边三角形判定定理的发现与证明.2.含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明.教学重难点1.含30角的直角三角形性质定理的探索与证明.2.引导学生全面、周到地思考问题.三、教学方法：探索发现法四、教学过程提问问题，引入新课回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？这是教师可以适时提出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？下面是实际教学中的部分师生活动实况：等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60我认为等腰三角形的三个内角都等于60，等腰三角形就是等边三角形了任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形根据等角对等边，三个内角都是60，所以它们所对的边一定相等但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形(2)你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流顶角是60的等腰三角形是等边三角形；底角是60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。对于前两个定理的形式相近，能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。做一做：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30角的直角三角形。拿出三角板，用含30角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=1/2AB，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半为什么所得到的三角形是等边三角形。具体的说明过程可以如下：方法1：因为ABDACD，所以AB=AC又因为RtABD中，BAD=60，所以ABD=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形方法2：图(1)中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30+30=60，所以B=C=BAC=60，即ABC是等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：如图，在RtABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30B=60.延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)ACB=90ACB=90AC=AC，ABCADC(SAS)AB=AD(全等三角形的对应边相等)ABD是等边三角形(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)BC=BD=AB变式训练 巩固新知直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30吗?如果是，请你证明它在师生分析的基础上，给出证明：已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=AB求证：BAC=30证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.ACB=90，ACD=90又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等边三角形B=60在RtABC中，BAC=30注意：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？例题等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高CD的长.分析：观察图形可以发现在RtADC中，AC=2a而DAC是ABC的一个外角，而DAC=15=30，根据在直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD解：ABC=ACB=15DAC=ABC+ACB=15+15=30CD=AC=2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半) 课时小结让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。布置作业P12 习题1.3 1,2，3。教学反思 本节中考命题趋向及考点近几年的中考命题趋势仍以考查以上知识点为主，以填空题和选择题为主要考查形式，并将三角形的全等融入平行四边形的证明和计算之中。考点1、全等三角形； 2、等腰三角形 3、三角形全等的证题思路 4、如何证明线段（或角）相等 5、三角形中的开放题、探索题考点练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数2、如图1所示，D在AB上，E在AC上，且B=C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断ABEACD的是（ ）A、AD=AE B、AEB=ADCC、BE=CD D、AB=AC 3、如图16-4所示，在ABC中，AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点。请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以证明（写出主要依据）4、 有一个等腰三角形，三边分别是3x2,4x3,62x,求等腰三角形的周长.2直角三角形（一）一、教学目标1知识目标：（1）经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性.（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立2能力目标：（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力3情感与价值观要求（1）在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.（2）积极参与数学活动，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲二教学重点、难点重点1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法2.结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立难点1.勾股定理及其逆定理的证明方法2.对不是“如果那么”形式的逆命题的叙述三、.教学方法：演绎推理证明四、教学过程创设情境，引入新课一个直角三角形房梁如图所示，其中BCAC， BAC=30，AB=10 cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?解：在RtABC中，CAB=30，AB=10 cm，BCAB105 cmCB1AB，B+BCB190又A+B90BCB1 A30在RtACB1中，BB1BC5 cm25 cmAB1AB-BB1102.57.5(cm)在RtC1AB1中，A30B1C1 AB1 7.53.75(cm)解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30角的直角三角形的性质”由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?讲述新课1勾股定理及其逆定理的证明已知：如图，在ABC中，C90，BCa，ACb，ABc求证：a2+b2c2证明：延长CB至D，使BDb，作EBDA，并取BEc，连接ED、AE(如图)，则ABCBEDBDE90，EDa(全等三角形的对应角相等，对应边相等)四边形ACDE是直角梯形S梯形ACDE(a+b)(a+b) (a+b)2ABE180(ABCEBD)1809090，ABBESABEc2S梯形ACDESABE+SABC+SBED，(a+b) 2 c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2c2 + ab,a2+b2c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论你能证明此结论吗?已知：如图：在ABC中，AB2+AC2BC2求证：ABC是直角三角形分析：要从边的关系，推出A90是不容易的，如果能借助于ABC与一个直角三角形全等，而得到A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证证明：作RtABC，使A90，ABAB，AC、AC(如图)，则AB2AC2.(勾股定理)AB2AC2BC2，ABAB，ACBC2BC2BCBCABCABC（SSS）AA90(全等三角形的对应角相等)因此，ABC是直角三角形定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形议一议：2互逆命题和互逆定理观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件这样的情况，在前面也曾遇到过例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30”。先让学生观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等如果两个角相等，那么它们是对顶角如果小明患了肺炎，那么他一定发烧如果小明发烧，那么他一定患了肺炎三角形中相等的边所对的角相等三角形中相等的角所对的边相等上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题请同学们判断i每组原命题的真假逆命题呢?在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题在第三组中，原命题和逆命题都是真命题由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明。如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理 能举例说出我们已学过的互逆定理?如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等随堂练习说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补；(3)如果ab0，那么a0， b课时小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力课后作业习题14第1、3、4、5题教学反思2直角三角形（二）一、教学目标：（1）知识目标：1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性2利用“HL定理解决实际问题（2）能力目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力2、初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神（3）情感与价值观要求1、积极参与数学活动，对数学有好奇心2、形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯二教学重点及难点HL定理的推导及应用三、教学方法：演绎推理证明四 、教学过程提问质疑 我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”已知：在ABC中， AB=AC 求证：B=C证明：过A作ADBC，垂足为C，ADB=ADC=90又AB=AC，AD=AD，ABDACD B=C（全等三角形的对应角相等）在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明ABDACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”引入新课1“HL”定理由师生共析完成已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC求证：RtABCRtABC证明：在RtABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)又在Rt A B C中，A C =AC=AB2一BC2 (勾股定理)AB=AB，BC=BC，AC=ACRtABCRtABC (SSS)定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示 判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里重心放在了问题（4），已知：RABC和RtAB C，C=C=90，BC=BC，BD、BD分别是AC、AC边上的中线且BDBD (如图)求证：RtABCRtABC证明：在RtBDC和RtBDC中，BD=BD,BC=BC,RtBDCRtB D C (HL定理)CD=CD又AC=2CD，A C =2C D ，AC=AC在RtABC和RtA B C 中，BC=BC ，C=C =90，AC=AC ，RtABCCORtABC(SAS)做一做问题 你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法用三角尺可以作已知角的平分线：如图，在已知AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线你能说明这样做的理由吗?也就是说，你能证明OP就是AOB平分线吗?可以已知：如上图，由作图步骤可知ON=OM，MP上OA，NP上OB，M、N分别为垂足求证：AOP=BOP 证明： MPOA，NPOB，OMP= NP=90 在RtOMP和RtONP中，OP=OP，OM=ON.RtOMPRtONP(HL定理)AOP=ZBOP(全等三角形的对应角相等)议一议如图，已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，还需要什么条件?把它们分别写出来 观察图形不难发现.在RtACB和RtBDA中，除么ACB=BDA=90外，它们有一条公共边，根据直角三角形全等的判定可知添加的条件可以是直角三角形的锐角，也可以是直角三角形中的直角边从添加角来说，可以添加CBA=DAB或CAB=DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD还可以将BC、AD的交点设为O，若OA=OB，则ACBBDA已知：如上图，AD、BC交于点O，且OB=OAACB=BDA=90,求证：ACBBDA证明：在RtACO和RtBDO中AO=BO，ACB=BDA=90AOC=BOD(对顶角相等)，ACOBDO(AAS)AC=BD又AB=AB，ACBBDA(HL定理)我还有一种方法，如果把刚才添加的条件“OA=OB”改写成“OC=OD”，也可以使ACBBDA请同学们思考这样做可以吗?我认为可以推导过程如下：已知：如上图，ACB=BDA=90，OC=OD求证：ACBBDA证明：在AOC和BOD中ACB=BDA=90，OC=OD，AOC=BOD(对顶角相等)，AOCBOD(ASA)AC=BD(全等三角形对应边相等)在ACB和BDA中，AB=AB，AC=BD，ACB=BDA，ACBBDA(HL定理)由此我们得到了六种不同的答案例如.(1)AC=BD；(2)BC=AD；(3)CBA=DAB；(4)CAB=DBA；(5)OA=OB；(6)OC=OD，等下面我们再来看一例题 例题如图，在ABCABC中，CD，CD分别分别是高，并且ACAC，CD=CDACB=ACB求证：ABCABC分析：要证ABCABC，由已知中找到条件：一组边AC=AC，一组角ACB=ACB如果寻求A=A，就可用ASA证明全等；也可以寻求么B=B，这样就有AAS；还可寻求BC=BC，那么就可根据SAS注意到题目中，通有CD、CD是三角形的高，CD=CD观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证的RtADCRtADC，因此证明A=A 就可行证明：CD、CD分别是ABCABC的高(已知)，ADC=ADC=90在RtADC和RtADC中，AC=AC(已知)，CD=CD (已知)，RtADCRtADC (HL)A=A，(全等三角形的对应角相等)在ABC和ABC中，A=A (已证)，AC=AC (已知)，ACB=ACB (已知)，ABCABC (ASA)课时小结本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大课后作业习题15第1、2题教学反思 本节主要考点1、直角三角形； 2、勾股定理及其逆定理3、三角形全等的证题思路 考点练习1、下列各组数据，能构成直角三角形的是（ ）A3、4、6 B5、12、13 C1、3、4 D4、6、92、一直角三角形的模具，量得其两边长为5cm和3cm，则第三边的长为： 。3、如图一，圆柱高为8cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从A点爬到B点吃食物，则蚂蚁的最短行程是（ ）（本题中的取3）A20 B10 C14 D无法确定 3线段的垂直平分线(一) 一、教学目标：1知识目标：经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理能够利用尺规作已知线段的垂直平分线2能力目标：经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 3情感与价值观要求 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心二教学重点、难点重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。三、.教学方法：探索猜测证明四、教学过程创设情境，引入新课如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”线段垂直平分线的性质：定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等要证线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?通过讨论和思考“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了”我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质”已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点求证：PA=PB分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等证明：MNAB，PCA=PCB=90AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS) ；PA=PB(全等三角形的对应边相等)想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果那么”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容易写出鼓励学生找出原命题的条件和结论。原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”此时，逆命题就很容易写出来“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在线段垂直平分线上”写出逆命题后时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明请同学们自行在练习册上完成证法一：已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB求证：P点在AB的垂直平分线上证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，RtPACRtPBC(HL定理)AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上证法二：取AB的中点C，过PC作直线AP=BP，PC=PC.AC=CB，APCBPC(SSS)PCA=PCB(全等三角形的对应角相等)又PCA+PCB=180，PCA=PCB=90，即PCABP点在AB的垂直平分线上证法三：过P点作APB的角平分线AP=BP，1=2，PC=PC，APCBPC(SAS)AC=BC，PCA=PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)又PCA+PCB=180PCA=PCB=90P点在线段AB的垂直平分线上从推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段垂直平分线上。我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?做一做 用尺规作线段的垂直平分线要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线下面我们一同来写出已知、求作、作法已知：线段AB(如图)求作：线段AB的垂直平分线作法：1分别以点A和B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D2作直线CD直线CD就是线段AB的垂直平分线请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗?请与同伴进行交流从作法的第一步可知 AC=BC，AD=BDC、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点随堂练习课本P281如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果ECD=60，那么EDC= 2已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P已知：直线l和l上一点P求作：PCl作法：l、以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线L相交于点A和B2作线段AlB的垂直平分线PC直线PC就是所求的垂线课时小结本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线 课后作业习题l.6 第1、3题 教学反思3线段的垂直平分线(二) 一、教学目标：（1）知识目标：1.经历折纸和作图、猜想、证明的过程，能够证明三角形三边垂直平分线交于一点2.经历猜想、探索，能够作出以a为底，h为高的等腰三角形（2）能力目标：1.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力2.体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识 3.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 （3）. 情感与价值观要求 1.能够积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲 2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心 二教学重点、难点 重点：1.能够证明与线段垂直平分线相关的结论 2.已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形 难点：证明三线共点是难点。三.教学方法：四、教学过程提出问题，引入新课利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么？“三角形三边的垂直平分线交于一点”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等”等都是学生可以发现的直观性质。下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂