《二项式定理的简单应用》进阶练习（三）.doc

二项式定理的简单应用进阶练习一、选择题1.若的展开式中存在常数项，则n可以为（）A.8B.9C.10D.112.若nN且n为奇数，则6n+C6n-1+C6n-2+C6-1被8除所得的余数是（）A.0B.2C.5D.73.记的展开式中第m项的系数为bm，若b3=2b4，则n=（）A.5B.6C.7D.8二、填空题4.若C+2C+22C+2nC=729，且（3+x）n=a0+a1x+a2x2+anxn，则a0-a1+a2-+（-1）nan= _ 三、解答题5.已知fn（x）=（1+2x）（1+22x）（1+2nx）（n2，nN*） （1）设fn（x）展开式中含x项的系数为an，求an （2）设fn（x）展开式中含x2项的系数为bn，求证：bn+1=bn+2n+1an （3）是否存在常数a，b，使bn=（2n-1-1）（2na+b）对一切n2且nN*恒成立？若不存在，说明理由；若存在，求出a，b的值，并给出证明参考答案1.C2.C3.A4.645.解：（1）根据多项式乘法的运算法则，fn（x）的展开式中x项的系数为an=2+22+23+2n=2n+1-2 （2）用为an、bn分别是fn（x）的展开式中x项、x2项的系数，则可设fn（x）=1+anx+bnx2+，则 fn+1（x）=fn（x）（1+2n+1）=1+（an+2n+1）x+（bn+2n+1an）x2+， bn+1=bn+2n+1an （3）假设存在a、b，使得bn=（2n-1-1）（2na+b）对一切n2且nN*恒成立，则 b2=（2-1）（22a+b），即4a+b=b2 同理8a+b=b3 又由f2（x）=1+6x+8x2，得a2=6，b2=8从而b3=56， 代入、得a=1，b=-1 猜想：bn=（2n-1-1）（2n-1）（n2） 证明如下：（i）n=2时，已经证明成立； （ii）假设n=k时结论成立，即bk=（2k-1-1）（2k-1）， 则n=k+1时，bk+1=bk+2k+1ak=（2k-1-1）（2k-1）+2k+1（2k+1-2）=（2k-1）（2k+1-1）， n=k+1时，结论成立， 由（i）（ii）可得bn=（2n-1-1）（2n-1）（n2）1.解：的展开式通项为， 若存在常数项，则2n-5r=0有整数解，故2n=5r，n必为5的倍数， 故选：C 先求出的展开式的通项公式，分析可得，若的展开式中存在常数项，则n必为5的倍数，从而得出结论 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题 2.解：根据题意，6n+Cn16n-1+Cn26n-2+Cnn-16-1 =6n+Cn16n-1+Cn26n-2+Cnn-16+Cnn-2 =（6+1）n-2=7n-2=（8-1）n-2 =Cn08n-Cn18n-1+（-1）n-1Cnn-18+（-1）nCnn-2 又由n为奇数，则6n+Cn16n-1+Cn26n-2+Cnn-16-1=Cn08n-Cn18n-1+（-1）n-1Cnn-18-3， 且Cn08n-Cn18n-1+（-1）n-1Cnn-18可以被8整除， 则6n+Cn16n-1+Cn26n-2+Cnn-16-1被8除所得的余数是5 故选：C 根据题意，由二项式定理，可以将6n+Cn16n-1+Cn26n-2+Cnn-16-1变形为Cn08n-Cn18n-1+（-1）n-1Cnn-18+（-1）nCnn-2，又由n为奇数，则可得6n+Cn16n-1+Cn26n-2+Cnn-16-1=Cn08n-Cn18n-1+（-1）n-1Cnn-18-3，分析可得答案 本题考查二项式定理的应用，关键是根据二项式定理，灵活将6n+Cn16n-1+Cn26n-2+Cnn-16-1变形 3.解：的展开式中第m项的系数为bm，若b3=2b4， 可得=， 可得， 解得n=5 故选：A 直接利用二项式定理的通项公式表示方程，求解即可 本题考查二项式定理的应用，考查计算能力 4.解：C+2C+22C+2nC=729=（1+2）n=3n=36n=6， （3+x）n=a0+a1x+a2x2+anxn， x=-1时，26=a0-a1+a2-+（-1）6a6=64 故答案为：64 利用二项式定理求出第一个等式中n的值，然后利用赋值法求解即可 本题考查我歇斯底里的应用，赋值法求解二项式定理系数问题，考查计算能力 5.这是一个数列与二项式的综合题，第（1）、（2