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6 4 二次型在二次曲面研究中的应用 前面所讲的二次曲面 它们的方程都是特殊形式 称为二次曲面的标准方程 而二次曲面的一般方程为 1 其中 都是实数 我们记 其中 利用二次型的表示方法 方程 1 可表示成下列形式 2 为研究一般二次曲面的性态 我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程 为此分两步进行 第一步 利用正交变换x Py将方程 2 左 边的二次型xTAx的部分化成标准形 其中P为正交矩阵 y x1 y1 z1 T 相应地有 于是方程 2 可化为 3 第二步 作平移变换 将方程 3 化为标准方程 其中 这里只要用 配方法就能找到所用的平移变换 以下对 1 当 是否为零进行讨论 用配方法将方程 3 化为 标准方程 6 1 根据 与d的正负号 可具体确定方程 6 1 表示什么曲面 例如 与d同号 则方程 6 1 表示椭球面 2 当 中有一个为0 设 方程 3 可化为 6 2 6 3 根据 与d的正负号 可具体确定方程 6 2 6 3 表示什么曲面 例如当 同号时 方程 6 2 表示椭圆抛物面 当 异号时 方程 6 2 表示双曲抛物面 6 3 表示柱面 3 当 中有两个为0 不妨设 方程 3 可化为下列情况之一 此时 再作新的坐标变换 方程可化为 表示抛物柱面 表示抛物柱面 表示抛物柱面 例13 二次曲面由以下方程给出 通过坐标 变换 将其化为标准型 并说明它是什么曲面 解 将二次曲面的一般方程写成矩阵形式 A的特征值为 分别求出 它们所对应的特征向量 并将它们标准正交化 取P p1 p2 p3 则P为正交矩阵 作正交变换 x Py 其中 则有 因此 原方程可化为 配方得 令 则原方程化为标准方程 该曲面为椭圆抛物面 例14 将二次曲面z xy的方程化为标准 方程 并说明它是什么曲面 解 z xy可写成xy z 0 令 该曲面方程用矩阵形式表示为 A的特征值为 分别 求出它们所对应的特征向量 并单位化得 取P p1 p2 p3 则P为正交矩阵 作正交变换 x Py 则有 因此 所给二次曲面化成标准方程为 即 表示双曲抛物面 马鞍面 图6 18 注 所作的正交变换实际上是一个旋转变换 z轴不动 逆z轴方向看去 x轴 y轴顺时针方向旋转450角 例15 求xoy面上的椭圆 的面积 其中 0 0 解 设二次型 其系数矩阵 由于 0 0 知T正定 故特征值全大于0 其特征多项
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