（全国通用）高考数学一轮复习 第五章 数列 热点专题突破三 数列的综合问题习题 理.doc

热点专题突破三数列的综合问题1.公差d0的等差数列an中,a1=2,a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn满足an=+,求数列bn的通项公式.1.【解析】(1)因为a1,a2,a4成等比数列,所以(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d=a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2n.(2)因为an=+,所以an-1=+.-得an-an-1= (n2),即bn=2(2n+1)=2n+1+2(n2),当n=1时,b1=6适合上式,所以bn=2n+1+2.2.数列an的前n项和为sn,且a1=1,an+1=2sn+1,数列bn为等差数列,且b3=3,b5=7.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若对任意的nn*,kbn恒成立,求实数k的取值范围.2.【解析】(1)由an+1=2sn+1,得an=2sn-1+1,-得an+1-an=2(sn-sn-1),an+1=3an(n2).又a2=3,a1=1也满足上式,an=3n-1.由b5-b3=2d=6,可得d=3,bn=3+(n-3)3=3n-6.(2)sn=,k3n-6对nn*恒成立,k对nn*恒成立.令cn=,cn-cn-1=,当n3时,cncn-1,当n4时,cn0,q=2,an=a1qn-1=2n.又a1a2a3an= (nn*),bn=.(2)由cn=-2,得sn=c1+c2+cn=+-21-+=-21-=-1.4.已知数列an中,a1=1,an=-,n2,且bn=an+,数列bn的前n项和为sn.(1)求证:数列bn是等比数列,并求数列an的通项公式;(2)若对任意nn*,psn-q,求q-p的最小值.4.【解析】(1)因为bn+1=an+1+=-=-an+=-bn,又b1=a1+0,所以数列bn是等比数列.因为bn=b1,所以an=bn-.(2)由(1)可知sn=1-,当n为奇数时,sn=1+;当n为偶数时,sn=1-.因为函数y=x-在(0,+)上单调递增,所以sn-的取值范围是.所以p-,q,所以q-p,即q-p的最小值是.5.已知各项均为正数的数列an满足+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中nn*.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn= (nn*),若存在正整数m,n(1m0,所以有an+1-2an=0,即an+1=2an,所以数列an是公比为2的等比数列,由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n(nn*).(2)bn=,若b1,bm,bn成等比数列,则,即3m2+n(2m2-4m-1)=0.因为1mn,所以2m2-4m-10,解得1-m1,所以m=2,此时n=12.6.(2015长沙长郡中学等十三校第二次联考)已知正项数列an的首项a1=1,前n项和sn满足an= (n2).(1)求证: 为等差数列,并求数列an的通项公式;(2)记数列的前n项和为tn,若对任意的nn*,不等式4tna2-a恒成立,求实数a的取值范围.6.【解析】(1)当n2时,an=,sn-sn-1=,即=1,数列是首项为1,公差为1的等差数列,故=n,故an=n+(n-1)=2n-1(n2),当n=1时也成立;an=2n-1.(2),tn=,又4tn0,则xen+1-n.所以fn(x)在(-n,en+1-n)内单调递增,在(en+1-n,+)上单调递减.所以当x=en+1-n时,fn(x)max=fn(en+1-n)=,即an=,则sn=.(2)因为n1,所以en+1单调递增,n(n+1)单调递增,所以an=单调递减.所以00;又g(1)=1+a,所以g(x)(a,1+a,由已知得(a,1+a,所以所以a0.(3) +fn(en)-an=ln+ln .令t=,h(x)= (x1),h(x)=0,所以h(x)在1,+)上单调递减.所以10,所以r(t)r(1)=0,所以0,所以+fn(en)an.8.(2015广东高考)数列an满足:a1+2a2+nan=4-,nn*.(1)求a3的值;(2)求数列an的前n项和tn;(3)令b1=a1,bn=an(n2),证明:数列bn的前n项和sn满足sn2+2ln n.8.【解析】(1)依题意有a1+2a2+nan=4-,nn*,当n2时,有a1+2a2+(n-1)an-1=4-,两式相减得nan=-,即an=,n2.且n=1时,a1=1也满足通项公式,综上得an=,nn*.则a3=.(2)由(1)知tn=2-.(3)由(2)得tn=2-,当n2时,bn=an= (a1+a2+an-1)+ an=a1+a2+an-1+an,所以sn=b1+b2+bn=a1+a1+a2+1+a3+a1+a2+an-1+an=a1+a2+1+an= (a1+a2+an)=tn=,下面证明+0,则f(x)=