数学华东师大版八年级上册逆命题与逆定理

逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理教学目的：1.理解互逆命题与互逆定理2正确应用互逆命题与互逆定理重点与难点：区分互逆命题与互逆定理教学过程：我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题m命题“两直线平行，内错角相等”的题设为_结论为_因此它的逆命题为_每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理练习1 说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：（1） 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；（2） 等边三角形的每个角都等于60；（3） 全等三角形的对应角相等（4） 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（5） 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2 举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1） 如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；（2） 如果两个角都是直角，那么这两个角相等3 在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）？试举出几对课堂小结：总结一下你所学过的知识作业19.4 逆命题与逆定理2 等腰三角形的判定教学目的：1. 理解并能用等腰三角形的等角对等边 2. 理解并能用勾股定理的逆定理重点与难点：本节两个定理的应用教学过程：在七年级第二学期第10章中我们已经知道，等腰三角形的底角相等，这是等腰三角形的性质定理它的逆命题“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”也是定理，是判定三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法回 忆你是怎样知道等腰三角形的这个判别方法的呢？如图1941，在ABC中，BC当时是利用圆规截取AB、AC，比较AB、AC的大小，从而得到ABAC为了确认这个命题的正确性，我们可以用逻辑推理的方法加以证明已知： 如图1942，在ABC中，BC求证： ABAC分析： 要证明ABAC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到作BAC的平分线AD证明作BAC的平分线AD在BAD和CAD中， BC，12，ADAD， BADCAD（AAS）， ABAC（全等三角形的对应边相等）于是得到：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）在八年级上学期第14章中我们已经知道勾股定理及勾股定理的逆定理我们也可以用逻辑推理的方法证明勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形已知： 如图1943，在ABC中，ABc， BCa， CAb，且a2b2c2求证： ABC是直角三角形分析： 首先构造直角三角形ABC，使C90，BCa， CAb，然后可以证明ABCABC，从而可知ABC是直角三角形设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角（1） 7， 24， 25；（2） 12， 35， 37；（3） 35， 91， 84课堂练习1 说出定理“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题，并证明该逆命题为真命题2 如图，已知P、Q是ABC的边BC上两点，并且BPPQQCAPAQ，求BAC的大小3 三角形三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？（） a=8, b=15, c=17；（） a=6, b=10, c=8；（3） a=1, b=3, c=24 给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？课堂小结：总结一下你所学过的知识19.4.逆命题与逆定理3 角平分线教学目的：角平分线定理及逆命题的应用重点与难点：角平分线定理及逆命题的应用教学过程回 忆我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线的这条性质是怎样得到的呢？如图1944，OC是AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PDOA， PEOB，垂足分别为点D和点E当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合于是得到PDPE与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PDPE于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题已知： 如图1945，QDOA， QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证： 点Q在AOB的平分线上分析： 为了证明点Q在AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明RtDOQRtEOQ，从而得到AOQBOQ于是就有定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明： 三角形三条角平分线交于一点从图1946中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了请你完成证明课堂练习：1 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等2 如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证： 点F在DAE的平分线上课堂小结：总结一下你所学过的知识作业19.4逆命题与逆定理 4 线段垂直平分线教学目的：线段的垂直平分线定理及逆定理重点与难点：线段的垂直平分线定理及逆定理的应用教学过程我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等我们也可用逻辑推理的方法证明这一结论如图1947，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足点P是直线MN上任意一点，连结PA、PB证明PAPB已知： MNAB，垂足为点C，ACBC，点P是直线MN上任意一点求证： PAPB分析图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PAPB于是就有定理： 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以通过“证明”来解答这个问题已知： 如图1948，QAQB求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上分析： 为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB于是就有定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明： 三角形三边的垂直平分线交于一点从图1949中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只