不等式知识点及题型总结.doc

不等式一、知识点：1. 实数的性质：；2. 不等式的性质：性 质内 容对称性，传递性且加法性质；且乘法性质；，且乘方、开方性质；倒数性质3. 常用基本不等式：条 件结 论等号成立的条件，基本不等式： 常见变式： ； 4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a，b都是正数，若ab是实值P，则当a=b=时，和ab有最小值2.命题2：已知a，b都是正数，若ab是实值S，则当a=b=时，积ab有最大值.注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设a0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1x2，则有0=00解集xxx2xxx1 Rax2+bx+c0解集xx1x0；ax2+bx+c06. 绝对值不等式（1）xa（a0）的解集为：xaxa；xa（a0）的解集为：xxa或xa。（2）7. 不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。例：解下列不等式：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：(1)方程的解为根据的图象，可得原不等式的解集是(2)不等式两边同乘以，原不等式可化为方程的解为根据的图象，可得原不等式的解集是(3)方程有两个相同的解根据的图象，可得原不等式的解集为(4)因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为练习1. （1）解不等式；（若改为呢？）（2）解不等式；解:(1)原不等式 (该题后的答案:).(2)即.8、最值定理设、都为正数，则有 若（和为定值），则当时，积取得最大值 若（积为定值），则当时，和取得最小值即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”注意：一正、二定、三相等几种常见解不等式的解法重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1：如果多项式可分解为个一次式的积，则一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况当分式不等式化为时，要注意它的等价变形用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解例：解不等式：（1）；（2）解：（1）原不等式可化为把方程的三个根顺次标上数轴然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为（2）原不等式等价于原不等式解集为解下列分式不等式：例：（1）； （2）（1）解：原不等式等价于用“穿根法”原不等式解集为。（2）解法一：原不等式等价于 原不等式解集为。解法二：原不等式等价于用“穿根法”原不等式解集为例2：绝对值不等式，解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法例：解不等式解：原不等式等价于 即 例3：已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0 (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围技巧与方法 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔 (1)证明 任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2)解 f(x)在1，1上为增函数， 解得 x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 例5：解关于x的不等式1(a1) 解 原不等式可化为 0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解 由于原不等式的解为(，)(2，+) 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解 由于,若a0，,解集为(，2)；若a=0时，解集为；若0a1，,解集为(2，)综上所述 当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2） 例6 设，解关于的不等式分析：进行分类讨论求解解：当时，因一定成立，故原不等式的解集为当时，原不等式化为；当时，解得；当时，解得当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为说明：解不等式时，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论的解是例8 解关于的不等式分析：不等式中含有字母，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比较两根的大小，从而引出讨论解：原不等式可化为(1)当（即或）时，不等式的解集为：；(2)当（即）时，不等式的解集为：；(3)当（即或1）时，不等式的解集为：说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根，因此不等式的解就是小于小根或大于大根但与两根的大小不能确定，因此需要讨论，三种情况例9 不等式的解集为，求与的值分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，的两根为，解法一：设的两根为，由韦达定理得：由题意：，此时满足，解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故需满足：，例10 解关于的不等式分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想解：分以下情况讨论(1)当时，原不等式变为：，(2)当时，原不等式变为：当时，式变为，不等式的解为或当时，式变为，当时，此时的解为当时，此时的解为说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解例11解不等式分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或解：原不等式等价于下面两个不等式组：由得，由得，所以原不等式的解集为，即为说明：本题也可以转化为型的不等式求解，注意：例12.已知关于的不等式的解集是，求实数之值解：不等式的解集是是的两个实数根，由韦达定理知：练习已知不等式的解集为求不等式的解集解：由题意 ， 即代入不等式得： 即，所求不等式的解集为1).恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上如（1）设实数满足，当时，的取值范围是_（答：）；（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_（答：）；（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_（答：（,）；（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是