2019高考数学一轮复习_第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件 理

第五章平面向量 5 2平面向量基本定理及坐标表示 高考理数 考点一平面向量基本定理1 平面向量基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的坐标表示 1 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 由平面向量基本定理知 有且只有一对实数x y 使得a xi yj 这样 平面内的任一向量a都可由x y唯一确定 我们把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作a x y 其中x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标 显然0 0 0 i 1 0 j 0 知识清单 1 2 设 xi yj 则向量的坐标 x y 就是终点A的坐标 即若 x y 则A点坐标为 x y 反之亦成立 O是坐标原点 考点二平面向量的坐标运算1 加法 减法 数乘运算 2 向量坐标的求法已知A x1 y1 B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去 始点的坐标 3 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 则a与b共线 a b x1y2 x2y1 0 平面向量基本定理实际上是向量的分解定理 并且是平面向量正交分解的理论依据 也是向量的坐标表示的基础 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 先选择一组基底 并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合 再通过向量的运算来证明 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 另外 要熟练运用线段中点的向量表达式 例1 2017江苏 12 5分 如图 在同一个平面内 向量 的模分别为1 1 与的夹角为 且tan 7 与的夹角为45 若 m n m n R 则m n 平面向量基本定理及其应用策略 方法技巧 解题导引 解析通解以O为坐标原点 OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系 则A 1 0 由tan 7 得sin cos 设C xC yC B xB yB 则xC cos yC sin 即C 又cos 45 sin 45 则xB cos 45 yB sin 45 即B 由 m n 可得解得所以m n 3 优解由tan 7 得sin cos 则cos 45 1 1 1 1 1 由 m n 得 m n 即 m n 同理可得 m n 即1 m n 联立 解得所以m n 3 答案3 拓展结论平面向量数量积的运算一般有两种解法 一是利用向量数量积的坐标运算求解 二是利用向量数量积的定义和运算性质求解 向量的坐标表示实际上是向量的代数表示 它可以使向量运算完全代数化 把关于向量的代数运算与数量 向量的坐标 的代数运算联系起来 这就使得向量成为数形结合的桥梁 成为中学数学的一个交汇点 向量的坐标运算主要是利用加 减 数乘的运算法则进行的 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求出向量坐标 注意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 如 若A x1 y1 B x2 y2 则有 x2 x1 y2 y1 平面向量的坐标运算技巧 A B C D 解题导引 解析由 及 得DB CA DC AB DA CB 且 ADC ADB BDC 120 ABC为正三角形 设 a 则a2cos120 2 a 2 AC 2 如图建立平面直角坐标系xOy 则OC 3 则A 0 B 0 C 0 3 由 P M C三点共线且M为PC的中点 设P x y 由 1 x 2 y2 1 令则即P sin cos M 2 sin 3 2 3 cos 2 37 6sin 6cos 37 12 2的最大值为 疑难突破本题的难点是如何找出 2与变量之间的关系 突破之处是抓住 1 x 2 y2 1 然后将坐标参数化 从而将问题转化为求asin bcos sin 的最大值问题 在向量的有关运算中 常遇到求值问题 若直接求值困难 则可利用解方程 组 法求值 例3 2017河北百校联盟4月联考 14 已知在 ABC中 点D满足2 0 过点D的直线l与直线AB AC分别交于点M N 若 0 0 则 的最小值为 方程的思想方法 解题导引 解析连接AD 因为2 0 所以 因为D M N三点共线 所以存在x R 使 x 1 x 则 x 1 x 所以x 1 x 根据平面向量基本定理 得x 1 x 所以