江苏高考数学复习导数及其应用第16课导数的概念及运算教师用书.docx

第四章导数及其应用第16课 导数的概念及运算最新考纲内容要求ABC导数的运算1导数与导函数的概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时 ，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作f(x0)(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)2导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nQ)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)4.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()(4)若f(a)a32axx2，则f(a)3a22x.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)t2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为_由题意知，机器人的速度方程为v(t)s(t)2t，故当t2时，机器人的瞬时速度为v(2)22.3(2016天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_3因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.4曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_5xy20y5ex，所求曲线的切线斜率ky5e05，切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.5(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.1f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.导数的计算求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)y.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)y.规律方法1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错2如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导变式训练(1)f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，则x0等于_. 【导学号：62172089】(2)(2015天津高考)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_(1)1(2)3(1)f(x)2 017ln xx2 018ln x，故由f(x0)2 018，得2 018ln x02 018，则ln x00，解得x01.(2)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.导数的几何意义角度1求切线方程已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程思路点拨(1)点P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0.解(1)根据已知得点P(2,4)是切点且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为y4，曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为yx，切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.角度2求切点坐标若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_(e，e)由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)角度3求参数的值(1)已知直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为_. 【导学号：62172090】(2)已知曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a_.(1)1(2)2(1)设切点坐标为(x0，y0)，y，则y|xx0，由得x01，切点坐标为，又切点在直线yxb上，故b，得b1.(2)由y得曲线在点(3,2)处的切线斜率为，又切线与直线axy10垂直，则a2.规律方法1.导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点2曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标易错警示：当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.思想与方法1f(x0)是函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，必须注意变换的等价性易错与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点3曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点课时分层训练(十六)A组基础达标(建议用时：30分钟)1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为_3(x2a2)f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于_1由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，则f(1)1.3曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是_2xy10ycos xex，故切线斜率为k2，切线方程为y2x1，即2xy10.4(2017苏州模拟)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_2因为y3ln x，所以y.再由导数的几何意义，有，解得x2或x3(舍去)5已知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得x，所求面积S10.6曲线f(x)x3x3在点P(1,3)处的切线方程是_2xy10由题意得f(x)3x21，则f(1)31212，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y32(x1)，即2xy10.7若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_. 【导学号：62172091】因为y2ax，所以y|x12a1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a10，a.8如图161，在平面直角坐标系xOy中，直线yx，y0，xt(t0)围成的OAB的面积为S(t)，则S(t)在t2时的瞬时变化率是_图1612当xt时，yt，S(t)ttt2.S(t)t，S(2)2.9如图162，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.图1620由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3)1，所以g(3)130.10(2017扬州期中)若x轴是曲线f(x)ln xkx3的一条切线，则k_. 【导学号：62172092】e2由题意可知f(x)k0有解，即x.fln 130，即ke2.11(2017苏州模拟)已知函数f(x)x1，若直线：ykx1与曲线yf(x)相切，则k_.1e设切点坐标为(x0，y0)，则由题意可知f(x0)k.又f(x)1，故1k.又y0x01kx01，x011kkx01，(k1)(x01)0，k1或x01，当k1时，由k1，可得0(舍去)，当x01时，由k1，可得k1e.12(2017南通三模)已知两曲线f(x)cos x，g(x)sin x，x相交于点A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为_. 【导学号：62172093】由f(x)g(x)可知tan x，又x，所以A.又f(x)sin x，f，在点A处的切线l1：y.令y0，得x，即B.又g(x)cos x，g.在点A处的切线l2：y.令y0，得x，即C，BC.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017无锡期末)过曲线yx(x0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点，若OAB的面积为，则x0_.y1，y|xx01，AB：yy0(xx0)又y0x0，yx0(xx0)令x0得y；令y0得x，SOAB，解得x(负值舍去)2(2017南通调研一)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线yx2(x0)和yx3(x0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是_由yx2得y2x，切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx.由yx3得y3x2，切线方程为yx3x(xx2)，即y3xx2x，由得.3(2016山东高考改编)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是_(填序号)ysin x；yln x；yex；yx3.若yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)f(x2)1.对于：ycos x，若有cos x1cos x21，则当x12k，x22k(kZ)时，结论成立；对于：y，若有1，即x1x21，x0，不存在x1，x2，使得x1x21；对于：yex，若有ex1ex21，即ex1x21.显然不存在这样的x1，x2；对于：y3x2，若有3x3x1，即9xx1，显然不存在这样的x1，x2.4(2017启东中学高三第一次月考)若曲线yaln x与曲线yx2在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则_.对曲线yaln x求导可得y，对曲线yx2求导可得y，因为它们在公共点P(s，t)处具有公共切线，所以，即s2ea，又taln ss2，即2ealn ss2，将s2ea代入，所以a1，所以t，s，即.5若函数f(x)ln xax存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_f(x)a(x0)，故由题意可知方程a2在(0，)上有解a22.又y2x与曲线f(x)ln xax相切，设切点为(x0，y0)，则解得x0e，a2.综上可知，实数a的取值范围为.6(2017盐城期