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有趣的实数 实数 基本概念 实数包括有理数和无理数 其中无理数就是无限不循环小数 有理数就包括整数和分数 数学上 实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数 本来实数仅称作数 后来引入了虚数概念 原本的数称作 实数 意义是 实在的数 实数可以分为有理数和无理数两类 或代数数和超越数两类 或正数 负数和零三类 实数集合通常用字母R或R n表示 而R n表示n维实数空间 实数是不可数的 实数是实分析的核心研究对象 实数可以用来测量连续的量 理论上 任何实数都可以用无限小数的方式表示 小数点的右边是一个无穷的数列 可以是循环的 也可以是非循环的 在实际运用中 实数经常被近似成一个有限小数 保留小数点后n位 n为正整数 在计算机领域 由于计算机只能存储有限的小数位数 实数经常用浮点数来表示 相反数 只有符号不同的两个数 我们就说其中一个是另一个的相反数 实数a的相反数是 a 绝对值 在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离 实数a的绝对值是 a a为正数时 a a a为0时 a 0 a为负数时 a a 倒数 两个实数的乘积是1 则这两个数互为倒数 实数a的倒数是 1 a a 0 实数 历史来源 埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了 在公元前500年左右 以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性 印度人于公元600年左右发明了负数 据说中国也曾发明负数 但稍晚于印度 直到17世纪 实数才在欧洲被广泛接受 18世纪 微积分学在实数的基础上发展起来 直到1871年 德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义 实数 相关定理 从有理数构造实数实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 3 3 1 3 14 3 141 3 1415 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全 实数可以不同方式从有理数构造出来 这里给出其中一种 其他方法请详见实数的构造 公理的方法设R是所有实数的集合 则 集合R是一个域 可以作加 减 乘 除运算 且有如交换律 结合律等常见性质 域R是个有序域 即存在全序关系 对所有实数x y和z 若x y则x z y z 若x 0且y 0则xy 0 集合R满足戴德金完备性 即任意R的非空子集S S R S 若S在R内有上界 那么S在R内有上确界 最后一条是区分实数和有理数的关键 例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上界 如1 5 但是不存在有理数上确界 因为 2不是有理数 实数通过上述性质唯一确定 更准确的说 给定任意两个戴德金完备的有序域R1和R2 存在从R1到R2的唯一的域同构 即代数学上两者可看作是相同的 实数的 实在性 2008 07 2516 40 论文 实数的 实在性 我们先不管可计算性的概念 由于实数似乎提供了测量距离 角度 时间 能量 温度或者许多其他几何和物理量的大小 所以被叫作 实 的 然而在抽象定义的 实 数和物理量之间的关系 不像人们所想象的那么一目了然 实数点被当成数学的理想化 而不是任何实际物理客观的量 例如 实数系统具有如下物质 在任何两个实数之间必有另一个实数 而不管该两数靠得多近 人们根本就不清楚 物理的距离或时间是否现实上具有这一性质 如果我们不断地对分两点之间的物理距离 最后就会到达这样微小的尺度 以至于在通常意义下的距离概念本身不再具有意义 人们预料在次原子粒子的10 20分之一的 量子引力 尺度下 这的确会发生 但是为了和实数相匹配 我们就必须走到比它小得任意多的尺度 例如10 200分之一 10 2000分之一或10 10 200分之一的粒子尺度 人们一点也不清楚 这么荒谬的微小尺度究竟有什么物理意义 类似的议论也适用于相应的微小的时间间隔 物理学选用实数系统的原因在于它的数学上的可用 简单 精巧以及在非常广大的范围内和距离似及时间的概念相符合 它之所以被选用并不是因为知道它和这些物理概念在所有的范围中都一致 人们还可以预料到 在非常微小的距离或时间的尺度下 不存在这样的一致 人们通常用尺来测量简单的距离 但这样的尺在我们追溯到它们自身原子的尺度时 就变得粗糙起来 这一切并不妨碍我们继续准确地利用实数 但要经过更加精细的处理 才能测量更小的距离 我们至少要有点怀疑 在极小尺度的距离下 也许最终存在有根本原则上的困难 自然对于我们真是恩惠有加 我们从小习惯用于描述日常或更大尺度的事物的同一实数 在尺度比原子小很多 肯定在比 经典 的次原子粒子 譬如电子或质子的经典直径小百倍的尺度下仍然有用 似乎直到比这粒子小二十个数量级的 量子引力尺度 仍然适用 从经验得知 这是极不寻常的推论 熟知的实数距离的概念似乎还可外推到最遥远的类星体以及更远处 至少给出了至少10 42也许10 60甚至更广的大范围 事实上 实数系统的合适性通常是不可置疑的 我们原先和实数相关的经验主要被限於相对有限的范围 人们为什么对实数于物理精密描述的可用性如此信心百倍呢 这种信念 也许是不当的 必须来源于 虽然这个事实经常不被承认 实数系统逻辑的优雅 一致性和数学的威力以及对自然的深刻数学和谐的信仰 摘自 彭罗斯 皇帝新脑 讨论 一个有趣的数学结论 对于任意大于一的实数实数R 先算出R R R次根下R X1再利用计算器的ANS储存功能 用X1做根指数 计算X1 R X2注 ANS是表示上次运算结果的符号再用X2做根指数 计算X2 R X3再用X3做根指数 计算X3 R X4 以此类推 不断计算ANS R 得到的Xn与Xn 1不断接近最后得到X R X 即得到一个数X 有X X R理论上 用此法应能对所有大于一的实数R适用 算出唯一的X 使X X R 例如3 3 27 2 506184146 2 506184146 10但是 当我令R 100时 计算出的结果却是 1 062148013 76 37948701 100计算过程中Xn与Xn 1的数值不断背离 无论取的第一个根指数是多少 上述算法不能用了 后来我经过多次试验发现 当R15 15时 上述算法不可用 一次偶然发现e e 15 15426224于是 我得出以下结论 对所有大于一的实数R 令ANS 任意大于一且自身的自身次方不等于R的实数 不断计算ANS R Xn n表示计算次数 当Re e时 得到的Xn与Xn 1不断远离 最后得到两个确定的数Xm与Xm 1 有Xm Xm 1 Xm 1 Xm R当R e e时 得到的Xn与Xn 1不断接近e这是一个实验性的结论 我无法解释 这是数值计算迭代收敛方面的问题首先说个定理 定理 对于迭代方程x x 若1 x 在 a b 上连续2 x x 在 a b 间有唯一不动点 3 在 a b 上 x 1考察该函数 在 0 内 x 为减函数 x 0为