成都市八年级下学期第一章 三角形的证明 3月培优(含答案详解).doc

八年级下学期3月培优一选择题（共10小题）1如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使MBN30若AMm，MNx，CNn，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随x，m，n的值而定2如图，BP是ABC的平分线，APBP于P，连接PC，若ABC的面积为1cm2，则PBC的面积为（）A0.4cm2B0.5cm2C0.6cm2D不能确定3如图，ABC中，ACDC3，BD垂直BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A1.5B3C4.5D94已知如图等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OPOC，下面的结论：APO+DCO30；APODCO；OPC是等边三角形；ABAO+AP其中正确的是（）ABCD5如图，已知：MON30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA11，则B6B7的边长为（）A6B12C32D646如图，在平面直角坐标系中，等边OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为（12，0），D是OB上的动点，过D作DEx轴于点E，过E作EFBC于点F，过F作FGOB于点G当G与D重合时，点D的坐标为（）A（1，）B（2，2）C（4，4）D（8，8）7如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B、C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2018，1）的是点（）AA和BBB和CCC和ADC8如图，在等边ABC中，AB6，AFB90，则CF的最小值为（）A3BC63D339如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30角的RtABC放在第一象限，其中30角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是（）ABC2D10如图，RtACB中，ACB90，ABC的平分线BE和BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D过P作PFAD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G则下列结论：APB45；PFPA；BDAHAB；DGAP+GH其中正确的是（）A1B2C3D4二填空题（共10小题）11如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，过点D作DFBC于点F，且BDBCAD，则CDF的度数为 12一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角380，则1+2 13如图，在ABC中，ACBC，ACB120，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作CDE30，DE交BC于点E若CDE是等腰三角形，则ADC的度数是 14我们将顶角为A，腰为a的等腰三角形记作“等腰三角形a，A”（a0，0A180）如边长为1的等边三角形记作“等腰三角形1，60”，那么“等腰三角形1，90”的周长为 15如图，已知：MON30，点A1、A2、A3、在射线ON上，点B1、B2、B3、在射线OM上，A1B1B2、A2B2B3、A3B3B4、均为等边三角形，若OB11，则A8B8B9的边长为 16在RtABC中，ACB90，CAB36，在直线AC或BC上取点M，使得MAB为等腰三角形，符合条件的M点有 个17如图，在ABC中，ABC90，AB6，BC8，BAC，ACB的平分线相交于点E，过点E作EFBC交AC于点F，则EF的长为 18如图1所示，一张三角形纸片ABC，ACB90，AC8，BC6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图2所示）将纸片ACD沿直线D2B（AB方向）平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当D1与点B重合时，停止平移在平移的过程中C1D与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P当AC1D和BC2D2重复部分面积等于原ABC纸片面积的，则平移距离D2D1为 19如图，在RtABC中，ACB90，BC6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD5，则AE 20如下图，在RtABC中，C90，DE垂直平分AB，垂足为E，D在BC上，已知CAD32，则B 度三解答题（共20小题）21如图，ABC中，C90，AC4cm，BC3cm，若动点P从点C开始，按CABC的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒（1）当x 时，CP把ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP cm；（2）当x为何值时，ABP为等腰三角形22如图，在ABC中，BDAC于D，CEAB于E，M，N分别是BC，DE的中点（1）求证：MNDE；（2）若BC20，DE12，求MDE的面积23已知：如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，点E是AC的中点，点F是BD的中点（1）求证：EFBD；（2）若BED90，求BCD的度数（3）若BED，直接写出BCD的度数（用含的代数式表示）24已知，如图，ABCADC90，M、N分别是AC、BD的中点（1）求证：MNBD；（2）在边AD上能否找到一点P，使得PBPD？请说明理由25如图，ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点（1）求证：MNDE；（2）连结DM，ME，求证：DME1802A；（3）若将锐角ABC变为钝角ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论26在ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N（1）如图，若BAC110，求EAN的度数；（2）如图，若BAC80，求EAN的度数；（3）若BAC（90），直接写出用表示EAN大小的代数式八年级下学期3月培优参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使MBN30若AMm，MNx，CNn，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随x，m，n的值而定【解答】解：将ABM绕点B顺时针旋转60得到CBH连接HNABC是等边三角形，ABCACBA60，MON30，CBH+ABM+CBN30，NBMNBH，BMBH，BNBN，NBMNBH，MNNHx，BCHA60，CHAMn，NCH120，x，m，n为边长的三角形NCH是钝角三角形，故选：C2如图，BP是ABC的平分线，APBP于P，连接PC，若ABC的面积为1cm2，则PBC的面积为（）A0.4cm2B0.5cm2C0.6cm2D不能确定【解答】解：如图，延长AP交BC于E，BP平分ABC，ABPEBP，APBP，APBEPB90，ABPEBP（ASA），APPE，SABPSEBP，SACPSECP，SPBCSABC10.5（cm2），故选：B3如图，ABC中，ACDC3，BD垂直BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A1.5B3C4.5D9【解答】解：延长BD交AC于点H设AD交BE于点OADBH，ADBADH90，ABD+BAD90，H+HAD90，BADHAD，ABDH，ABAH，ADBH，BDDH，DCCA，CDACAD，CAD+H90，CDA+CDH90，CDHH，CDCHAC，AEEC，SABESABH，SCDHSABH，SOBDSAOESADBSABESADHSCDHSACD，ACCD3，当DCAC时，ACD的面积最大，最大面积为33故选：C4已知如图等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OPOC，下面的结论：APO+DCO30；APODCO；OPC是等边三角形；ABAO+AP其中正确的是（）ABCD【解答】解：如图1，连接OB，ABAC，ADBC，BDCD，BADBAC12060，OBOC，ABC90BAD30OPOC，OBOCOP，APOABO，DCODBO，APO+DCOABO+DBOABD30；故正确；由知：APOABO，DCODBO，点O是线段AD上一点，ABO与DBO不一定相等，则APO与DCO不一定相等，故不正确；APC+DCP+PBC180，APC+DCP150，APO+DCO30，OPC+OCP120，POC180（OPC+OCP）60，OPOC，OPC是等边三角形；故正确；如图2，在AC上截取AEPA，连接PB，PAE180BAC60，APE是等边三角形，PEAAPE60，PEPA，APO+OPE60，OPE+CPECPO60，APOCPE，OPCP，在OPA和CPE中，OPACPE（SAS），AOCE，ACAE+CEAO+AP；故正确；本题正确的结论有：故选：A5如图，已知：MON30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA11，则B6B7的边长为（）A6B12C32D64【解答】解：A1B1A2是等边三角形，A1B1A2B1，341260，2120，MON30，11801203030，又360，5180603090，MON130，OA1A1B11，A2B11，A2B2A3、A3B3A4是等边三角形，111060，1360，41260，A1B1A2B2A3B3，B1A2B2A3，16730，5890，A2B22B1A22，B3A32B2A3，A3B34B1A24，A4B48B1A28，A5B516B1A216，以此类推：A7B726B1A22664，B6A732，B7B6A7是直角三角形，B7B6A790，B6B732故选：C6如图，在平面直角坐标系中，等边OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为（12，0），D是OB上的动点，过D作DEx轴于点E，过E作EFBC于点F，过F作FGOB于点G当G与D重合时，点D的坐标为（）A（1，）B（2，2）C（4，4）D（8，8）【解答】解：如图，设BGx，OBC是等边三角形，BOCBC60，DEOC于点E，EFBC于点F，FGOB，BFGCEFODE30，BF2x，CF122x，CE2CF244x，OE12CE4x12，OD2OE8x24，当G与D重合时，OD+BGOB，8x24+x12，解得x4，OD8x2432248，OE4，DE4，D（4，4）故选：C7如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B、C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2018，1）的是点（）AA和BBB和CCC和ADC【解答】解：由题意可知：第一次滚动：点A、B经过点（2，1），第二次滚动：点B、C经过点（3，1），第三次滚动：点A、C经过点（4，1），第四次滚动：点A、B经过点（5，1），发现，每三次一循环，所以（20181）3672余1，这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2018，1）的是点A、B，故选：A8如图，在等边ABC中，AB6，AFB90，则CF的最小值为（）A3BC63D33【解答】解：如图取AB的中点E，连接EF、ECABC是等边三角形，AEEB，ABBC6，CBE60，CEBCsin603，AFB90，AEEB，EFAB3，CFECCF，当E、F、C共线时，FC的值最小，最小值为33，故选：D9如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30角的RtABC放在第一象限，其中30角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是（）ABC2D【解答】解：取AB的中点F，连接CF、OF在RtABC中，ACB90，BAC30，BC1，AB2BC2，AOB90，AFFB，OFFCAB1，OCOF+CF，当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2故选：C10如图，RtACB中，ACB90，ABC的平分线BE和BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D过P作PFAD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G则下列结论：APB45；PFPA；BDAHAB；DGAP+GH其中正确的是（）A1B2C3D4【解答】解：ABC的角平分线BE和BAC的外角平分线，ABPABC，CAP（90+ABC）45+ABC，在ABP中，APB180BAPABP，180（45+ABC+90ABC）ABC，18045ABC90+ABCABC，45，故本小题正确；PFAD，APB45（已证），APBFPB45，PB为ABC的角平分线，ABPFBP，在ABP和FBP中，ABPFBP（ASA），ABBF，APPF；故正确；ACB90，PFAD，FDP+HAP90，AHP+HAP90，AHPFDP，PFAD，APHFPD90，在AHP与FDP中，AHPFDP（AAS），DFAH，BDDF+BF，BDAH+AB，BDAHAB，故小题正确；PFAD，ACB90，AGDH，APPF，PFAD，PAF45，ADGDAG45，DGAG，PAF45，AGDH，ADG与FGH都是等腰直角三角形，DGAG，GHGF，DGGH+AF，AFAP，DGAP+GH不成立，故本小题错误，综上所述正确故选：C二填空题（共10小题）11如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，过点D作DFBC于点F，且BDBCAD，则CDF的度数为18【解答】解：ABAC，BDBCAD，ACBABC，AABD，CBDC，设A，则ABD，CBDC2，ABC2，ABC中，A+ABC+C180，+2+2180，36，C72，又DFBC，RtCDF中，CDF907218，故答案为：1812一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角380，则1+2130【解答】解：如图，由等边三角形和直角三角形可得1+120，2+90，1+2+90+120210，且3+，+80，1+221080130，故答案为：13013如图，在ABC中，ACBC，ACB120，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作CDE30，DE交BC于点E若CDE是等腰三角形，则ADC的度数是60或105【解答】解：CDE可以是等腰三角形，CDE是等腰三角形；当CDDE时，CDE30，DCEDEC75，ADCB+DCE105，当DECE时，CDE30，DCECDE30，ADCDCE+B60当ECCD时，BCD180CEDCDE1803030120，ACB180AB120，此时，点D与点A重合，不合题意综上，ADC可以是等腰三角形，此时ADC的度数为60或105故答案为60或10514我们将顶角为A，腰为a的等腰三角形记作“等腰三角形a，A”（a0，0A180）如边长为1的等边三角形记作“等腰三角形1，60”，那么“等腰三角形1，90”的周长为2+【解答】解：等腰三角形1，90，腰长为1，顶角为90，由勾股定理得：底边（斜边）长为，即三角形的周长为1+1+2+，故答案为：2+15如图，已知：MON30，点A1、A2、A3、在射线ON上，点B1、B2、B3、在射线OM上，A1B1B2、A2B2B3、A3B3B4、均为等边三角形，若OB11，则A8B8B9的边长为128【解答】解：设等边三角形的边长一次为a1，a2，a3，A1B1B2是等边三角形，B1A1B2A1，341260，2120，MON30，11801203030，又360，5180603090，MON130，OB1B1A11，B2A11，B2A2B3、B3A3B4是等边三角形，111060，1360，41260，B1A1A2B2A3B3，A1B2A2B3，16730，5890，a22a1，a34a14，a48a18，a516a1，以此类推：a827128，即A8B8B9的边长为128，故答案为：12816在RtABC中，ACB90，CAB36，在直线AC或BC上取点M，使得MAB为等腰三角形，符合条件的M点有8个【解答】解：如图，以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时ABAM）；以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BMBA）AB的垂直平分线交AC一点M7（MAMB），交直线BC于点M8；符合条件的点有8个故答案为：817如图，在ABC中，ABC90，AB6，BC8，BAC，ACB的平分线相交于点E，过点E作EFBC交AC于点F，则EF的长为【解答】解：过E作EGAB，交AC于G，则BAEAEG，AE平分BAC，BAECAE，CAEAEG，AGEG，同理可得，EFCF，ABGE，BCEF，BACEGF，BCAEFG，ABCGEF，ABC90，AB6，BC8，AC10，EG：EF：GFAB：BC：AC3：4：5，设EG3kAG，则EF4kCF，FG5k，AC10，3k+5k+4k10，k，EF4k故答案为：18如图1所示，一张三角形纸片ABC，ACB90，AC8，BC6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图2所示）将纸片ACD沿直线D2B（AB方向）平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当D1与点B重合时，停止平移在平移的过程中C1D与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P当AC1D和BC2D2重复部分面积等于原ABC纸片面积的，则平移距离D2D1为或2【解答】解：C1D1C2D2，C1AFD2又ACB90，CD是斜边上的中线，DCDADB，即C1D1C2D2BD2AD1C1A，AFD2AAD2D2F同理：BD1D1E又AD1BD2，AD2BD1D1ED2F在RtABC中，AC8，BC6，由勾股定理，得AB10即AD1BD2C1D1C2D25又D2D1x，D1EBD1D2FAD25xC2FC1Ex在BC2D2中，C2到BD2的距离就是ABC的AB边上的高，为设BED1的BD1边上的高为h，由探究，得BC2D2BED1，hSBED1BD1h（5x）2又C1+C290，FPC290又C2B，sinB，cosBPC2x，PFx，SFC2PPC2PFx2而ySBC2D2SBED1SFC2PSABC（5x）2x2yx2+x（0x5）当ySABC时，x2+x24，解得x或x2故答案是：或219如图，在RtABC中，ACB90，BC6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD5，则AE【解答】解：如图，连接BE，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，AEBE，RtABC中，ACB90，D是AB的中点，AB2CD10，又BC6，AC8，设AEBEx，则CE8x，BCE90，RtBCE中，CE2+BC2BE2，即（8x）2+62x2，解得x，AE，故答案为：20如下图，在RtABC中，C90，DE垂直平分AB，垂足为E，D在BC上，已知CAD32，则B29度【解答】解：C90，CAD32ADC58，DE为AB的中垂线BADB又BAD+B58B29故填29三解答题（共20小题）21如图，ABC中，C90，AC4cm，BC3cm，若动点P从点C开始，按CABC的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒（1）当x时，CP把ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CPcm；（2）当x为何值时，ABP为等腰三角形【解答】解：（1）C90，AC4cm，BC3cm，AB5cm，当CP把ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，点P运动的路程为6.5cm，x6.51，此时CPABcm；故答案为：，；（2）ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PAPB设CPx，则APBP4x，在RtBCP中，BC2+CP2BP2，即32+x2（4x）2，解之得：x，当x为时，ABP为等腰三角形22如图，在ABC中，BDAC于D，CEAB于E，M，N分别是BC，DE的中点（1）求证：MNDE；（2）若BC20，DE12，求MDE的面积【解答】（1）证明：连接ME、MD，BDAC，BDC90，M是BC的中点，DMBC，同理可得EMBC，DMEM，N是DE的中点，MNDE；（2）解：BC10，ED6，DMBC10，DNDE6，由（1）可知MND90，MN4，SMDEDEMN1284823已知：如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，点E是AC的中点，点F是BD的中点（1）求证：EFBD；（2）若BED90，求BCD的度数（3）若BED，直接写出BCD的度数（用含的代数式表示）【解答】（1）证明：ABCADC90，点E是AC的中点，DEAC，BEAC，DEBE，点F是BD的中点，EFBD；（2）解：ABCADC90，点E是AC的中点，DEACEC，BEACEC，EDCDCE，EBCECB，在四边形DEBC中，EDC+DCE+ECB+EBC+DEB360，DEB90，EDC+DCE+ECB+EBC360DEB36090270，2DCE+2ECB270，DCE+ECB135，即BCD135；（3）若BED，则BCD180，理由是：ABCADC90，点E是AC的中点，DEACEC，BEACEC，EDCDCE，EBCECB，在四