2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)78003.ppt

读教材 填要点 1 反证法先假设 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 的结论 以说明不正确 从而证明原命题成立 我们称这种证明问题的方法为反证法 2 放缩法证明不等式时 通常把不等式中的某些部分的值或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 要证的命题不成立 矛盾 假设 放大 缩小 小问题 大思维 1 用反证法证明不等式应注意哪些问题 提示 用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 且必须根据这一条件进行论证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行论证 就不是反证法 3 推导出来的矛盾可以是多种多样的 有的与已知条件相矛盾 有的与假设相矛盾 有的与定理 公理相违背 有的与已知的事实相矛盾等 但推导出的矛盾必须是明显的 2 运用放缩法证明不等式的关键是什么 提示 运用放缩法证明不等式的关键是放大 或缩小 要适当 如果所要证明的不等式中含有分式 那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小 反之 如果把分母缩小 则相应分式的值就会放大 有时也会把分子 分母同时放大 这时应该注意不等式的变化情况 可以与相应的函数相联系 以达到判断大小的目的 这些都是我们在证明中的常用方法与技巧 也是放缩法中的主要形式 研一题 例1 设a b c d都是小于1的正数 求证 4a 1 b 4b 1 c 4c 1 d 4d 1 a 这四个数不可能都大于1 精讲详析 本题考查反证法的应用 解答本题若采用直接法证明将非常困难 因此可考虑采用反证法从反面入手解决 悟一法 1 当证明的结论中含有 不是 不都 不存在 等词语时 适于应用反证法 因为此类问题的反面比较具体 2 用反证法证明不等式时 推出的矛盾有三种表现形式 与已知相矛盾 与假设矛盾 与显然成立的事实相矛盾 通一类 1 已知f x 是R上的单调递增函数 且f a f b f a f b 求证 a b 证明 假设a b 则当a b时 b a 于是有f a f b f b f a 与已知矛盾 当a b时 a b 于是有f a f b f b f a f a f b f b f a 与已知矛盾 a b 研一题 例2 实数a b c d满足a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 精讲详析 本题考查 至多 至少 型命题的证明方法 解答本题应假设a b c d都是非负数 然后证明并得出矛盾 假设a b c d都是非负数 即a 0 b 0 c 0 d 0 则1 a b c d ac bd ad bc ac bd 这与已知中ac bd 1矛盾 原假设错误 a b c d中至少有一个是负数 悟一法 1 在证明中含有 至少 至多 最多 等字眼时 或证明否定性命题 惟一性命题时 可使用反证法证明 在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾 也可以与已知矛盾 与显然的事实矛盾 也可以自相矛盾 2 在用反证法证明的过程中 由于作出了与结论相反的假设 相当于增加了题设条件 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件 否则将无法推出矛盾 通一类 2 已知函数y f x 在区间 a b 上是增函数 求证 y f x 在区间 a b 上至多有一个零点 证明 假设函数y f x 在区间 a b 上至少有两个零点 不妨设x1 x2 x1 x2 为函数y f x 在区间 a b 上的两个零点 且x1 x2 则f x1 f x2 0 函数y f x 在区间 a b 上为增函数 x1 x2 a b 且x1 x2 f x1 f x2 与f x1 f x2 0矛盾 原假设不成立 函数y f x 在 a b 上至多有一个零点 研一题 精讲详析 本题考查放缩法在证明不等式中的应用 解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式 但我们不能利用求和公式或其他方法求和 因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式 进而求和 并证明该不等式 悟一法 1 放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换 即欲证a b 可换成证a c且c b 欲证a b 可换成证a c且c b 2 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一 放缩必须有目标 而且要恰到好处 目标往往要从证明的结论考察 常用的放缩方法有增项 减项 利用分式的性质 利用不等式的性质 利用已知不等式 利用函数的性质进行放缩等 比如 通一类 反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大 一般以解答题一问的形式出现 但反证法和放缩法是一种重要的思维模式 在逻辑推理中有着广泛的应用 考题印证 2011 安徽高考 设直线l1 y k1x 1 l2 y k2x 1 其中实数k1 k2满足k1k2