数值解分支.doc

一:微分方程数值解是计算数学中的主要分支。传统的方法有有限差分法、有限元法、边界元法和谱方法。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的Difference Methods for Initial-Value Problems；R. LeVequeFinite Difference Method for Differential Equations；Numerical Methods for Conservation Laws。有限元法是用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中，有限元法方面的经典文献有Ciarlet的The Finite Element Method for Elliptic Problems。和Brenner & Scott的Mathematical Theory of the Finite Element Method。 边界元法是在有限元之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。又称边界积分方程。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。谱方法是70年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法，它具有“无穷阶”收敛性，可采用快速算法，现已被广泛用于气象、物理、力学等诸多领域，成为继差分法和有限元法之后又一种重要的数值方法，谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。 二:矩阵计算（数值代数）和最优化是科学计算、运筹学的基础学科, 它们在科学工程计算中有着关键的作用,在材料科学, 生命科学, 信息科学,交通,通讯以及金融中的计算问题的研究.特别是BIO-INFORMATICS和无线通讯中的研究前沿,许多问题都归结为大规模的矩阵计算和优化问题. 矩阵计算方面经典的书是J H Wilkinson的The Algebraic Eigenvalue Problem（有中译本，石钟慈等人译，代数特征值问题，科学出版社；Golub和van Loan的Matrix Computation（有中译本，袁亚湘译，矩阵计算，科学出版社）。其他的书有Demmel的Applied Numerical Linear Algebra，Trefethen & Bau 的Numerical Linear Algebra。最优化方面的经典的书目有：R.Flecher的Practical Methods of Optimization； Jorge Nocedal 和Stephen J. Wright 的 Numerical Optimization, 三:反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。反问题方面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的Solutions of Ill-posed Problems（有中译本，不适定问题的解法）。现在反问题反面每篇重要的文章基本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但是不多。Groetsch的The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equation of the first kind是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的Linear Integral Equations和Kirsch的An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems也是不错的入门书。Engl等人的Regularization of Inverse Problems广受好评，应该可以作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的Inverse problems for partial differential equations，Martin Hanke的Conjugate Gradient Type Methods for Ill-posed Problems也是不错的。在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的Rank-deficient and discrete ill-posed problems和 Vogel的Computational Methods for Inverse Problems。两本书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，要求对矩阵计算的基本概念非常熟悉。 四:计算数学的应用型分支：与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三种