P0039-专题讲座——函数中的恒成立问题.doc

数学中的恒成立问题1.已知函数，（）求的极值；（）若在上恒成立，求的取值范围解： （）由导数运算法则知，令，得当时，单调递增；当时，单调递减故当时，有极大值，且极大值为（）欲使在上恒成立，只需在上恒成立， K等价于只需在上的最大值小于设（），由（）知，在处取得最大值所以，即的取值范围为2. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）是否存在正常数恒成立？如果存在，求出最小正数，否则请说明理由。解：（1）由， 求导数得到， 令，x=0,因此上为增函数 （2）令，只需上恒成立, 当t=2时，显然成立， 当恒成立， 又， ,即最小值为4。3.已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且令（1）求 g(x)的表达式；（2）设，证明:对任意x,x，恒有解：（1）设，于是所以 又，则所以. （2）因为对，所以在内单调递减.于是 记，则所以函数在是单调增函数，所以，故命题成立. 4 （0）（1）已知0，若0恒成立，求的取值范围；（2） （0），判断是否存在极值。若存在，求出极值，若不存在，说明理由。解：（1）=，02时，0 0 在（0.+）上单调递增=0，符合题意。2时，令=0 0解得 0时，0，在（0，单调递减，则（0，=0 与已知矛盾 综上，0（2）= ，k.Com由（1）=时, .即 , 在（，+）没有极值点。5.已知函数（1）若求的单调区间及的最小值；（2）若，求的单调区间；（3）试比较）的大小，并证明你的结论。解：（1）， 故a=1时，的增区间为，减区间为（0，1），（2）若则在区间上是递增的；当在区间上是递减的，若，则在区间上是递增的，在区间上是递减的；当在区间（0，a）上是递减的，而在处连续；则在区间上是递增的，在区间（0，1）上是递减的，综上：当的递增区间是，递减区间是（0，a）；当时，的递增区间是，递减区间是（0，1） （3）由（1）可知，当，时，有，即 6.设函数（1）若对于定义域的任意，都有成立，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求的取值范围；（3）若，证明对于任意的正整数不等式都成立.解：（1）由，得，的定义域为，对都有，函数定义域上连续，是函数的最小值，故有，. （2），又函数在定义域是单调函数，或在上恒成立.若，在上恒成立，即恒成立，由此得；若，即恒成立，因在没有最小值，不存在实数使恒成立.综上所知，实数的取值范围是. （3）当时，函数，令函数，则，当时，函数在上单调递减，又，当时，即恒成立.故.，取，故结论成立. 7.已知函数（1）求的导数； （2）求证：不等式上恒成立；（3）求的最大值解：（1）（2）由(1)知，其中 令，对求导得8.已知函数f (x) = eg(x)，g (x) = (e是自然对数的底)（1）若函数g (x)是(1，+)上的增函数，求k的取值范围；（2）若对任意的x0，都有f (x)x + 1，求满足条件的最大整数k的值；（3）证明：ln(1 + 12) + ln(1 + 23) + +ln1 + n (n + 1)2n 3 (nN*)解：（1）设因为g (x)是(1，+)上的增函数，所以g(x)0，得到k 1；所以k的取值范围为(1，+) （2）由条件得到f (1)2猜测最大整数k = 2， 现在证明对任意x0恒成立，等价于设故x(0，2)时，h(x)0，当x(2，+)时，h(x)0，所以对任意的x0都有h (x)h (2) = ln3 + 12，即对任意x0恒成立，所以整数k的最大值为2； （3）由（2）得到不等式 ln(1 + 12) + ln(1 + 23) + +ln1 + n (n + 1) 所以原不等式成立 9.已知函数（1）讨论方程在区间内的解的个数；（2）求证：解：（1） 由，得。令所以，方程在区间内解的个数即为函数的图像与直线交点的个数。当时, . 当在区间内变化时, , 变化如下: 时，单调递增，时，单调递减，当时，；当时，；当时，。所以，当或时，该方程无解；当或时，该方程有一个解；当时，该方程有两个解。（2） 由()知 ，. . . 10.已知函数f (x) = ln (2 + 3x) （1）求f (x)在0，1上的最大值；（2）若对恒成立，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f (x) = 2x + b在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围解：（1）当单调递减为函数f (x)在0，1上的最大值（2）由设依题意知ah (x)或ag (x)在x上恒成立，g (x)与h (x)都在上递增，要使不等式成立，当且仅当（3）由上递增；而上恰有两个不同实根等价于11. 已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而，等价于， 令，则，等价于在（0，+）单调减少，即.从而。故a的取值范围为（-，-2. 12. 已知函数，（）求的单调区间和值域；（）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围解：对函数求导，得，令解得 或，当变化时，、的变化情况如下表：x00所以，当时，是减函数；当时，是增函数；当时，的值域为（）对函数求导，得，因此，当时， 因此当时，为减函数，从而当时有又，即当时有任给，存在使得，则，即 解式得 或解式得 ，又，故：的取值范围为13. 已知定义域为的函数是奇函数。（1）求的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解：（1）因为是奇函数，且定义域为R，所以， 又，知而当时是奇函数. （2）由（）知，易知f(x)在(-,+)上为减函数. 或令，则， ，即,函数在R上为减函数. 方法二：由（）知,， ，即函数在R上为减函数. 是奇函数，不等式,等价于，因为减函数，即对一切横成立， 14. 设函数,当点是函数图象上的点时，点是函数)图象上的点 （1）写出函数的解析式； （2）若当时，恒有,试确定的取值范围 解 (1) 设点Q的坐标为(x,y),则x=x2a,y=y 即x=x+2a,y=y 点P(x,y)在函数y=loga(x3a)的图象上，y=loga(x+2a3a),即y=,g(x)=loga (2) 由题意得x3a=(a+2)3a=2a+20;=0,又a0且a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x24ax+3a2)|1, 1loga(x24ax+3a2)1,0a1,a+22a f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上为减函数，(x)=loga(x24ax+3a2)在a+2,a+3上为减函数，从而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组的解 由loga(96a)1解得0a,由loga(44a)1解得0a,所求a的取值范围是0a 15. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数；（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围。解：（1）当时，,在上递减，所以，即在的值域为,故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数。（2）由题意，在上恒成立。, 在上恒成立 , 设，由得 t1，设，,所以在上递减，在上递增,在上的最大值为,在上的最小值为, 所以实数的取值范围为。16. 已知,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n.,不等式恒成立.解: 分析:由题意知,但由于无法求和,故对给出的不等式难以处理,解决本题的关键在于把看作n的函数,此时已知不等式恒成立就等价转化为:函数的最小值大于,而求最小值又应从研究f(n)的单调性入手.即。要使对于一切大于1的自然数n.,不等式恒成立,只需不等式恒成立即可.由,由此易求得实数m的取值范围为17. 已知函数.（1）求函数的反函数的导数（2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.解：（1）由y=f(x)=ln(exa)得x=ln(eya)，所以y=f1(x)=ln(exa)（xlna）。（2）由0，得m，即对于xln(3a)，ln(4a)，恒有：em。 设t= ex，u(t)=，u (t)=，于是不等式化为：u(t)emu (t)，t3a，4a 当t1t2，t1、t23a，4a时，u(t2)u(t1)=0所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式成立当且仅当即，于是得 解法二：由，得设于是原不等式对于恒成立，等价于 由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式成立当且仅当：即 18. 设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（1）当a=0时，f(x)h(x)在（1,+）上恒成立，求实数m的取值范围;（2）当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;（3）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。解：（1）由a=0,f(x)h(x)可得-mlnx-x，即 ，记，则f(x)h(x)在(1,+)上恒成立等价于.，求得 ，当时;当时， ,故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故. （2）函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在1,3上恰有两个相异实根，令g(x)=x-2