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全国名校真题模拟专题训练08圆锥曲线三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设、分别是椭圆的左、右焦点. （）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（）易知 设P（x，y），则 ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 （）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为 由方程组依题意 当时，设交点C，CD的中点为R，则又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程；（i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由（ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围. 解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，CAB为钝角. . 该不等式无解，所以ACB不可能为钝角.因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:.解法二： 以AB为直径的圆的方程为:.当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，B，C三点不共线时， ACB为锐角，即ABC中ACB不可能是钝角. 因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是CAB或CBA为钝角. . A，B，C三点共 线，不构成三角形.因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：ABC的垂心H也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC的一个顶点为C(1,1)，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。解：（1）略；（2）A(2+,2), B(2,2+)或A(2,2+), B(2+,2)4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C：(p0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上（）求抛物线C的方程；（）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程解：（）由题意可得直线l： 过原点垂直于l的直线方程为 解得 抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，抛物线C的方程为 （）设，由，得又，解得 直线ON：，即 由、及得，点N的轨迹方程为 5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB过轴上一点，斜率为，两端点A，B到轴距离之差为，（1）求以O为顶点，轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；解：（1）设抛物线方程为，AB的方程为，联立消整理，得；，又依题有，抛物线方程为；（2）设，的方程为；过，同理为方程的两个根；又，的方程为，显然直线过点6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足. （I）求点G的轨迹C的方程； （II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）Q为PN的中点且GQPNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，短半轴长b=2，点G的轨迹方程是 5分 （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形若存在l使得|=|，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在.7分设l的方程为 9分把、代入存在直线使得四边形OASB的对角线相等.7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=1，=2，求证1+2为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.椭圆C的方程为 5分 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得 10分 12分方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 7分 8分又8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R（3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上 ,且满足，.（）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（）设为轨迹C上两点，且，N(1,0)，求实数，使，且.解：()设点M(x,y)，由得P(0，)，Q().由得(3，)(，)0,即又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.6分（）解法一：由题意可知N为抛物线C:y24x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。当直线AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合题意；7分当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入得则|AB|,解得 10分 代入原方程得，由于，所以, 由，得 . 13分解法二：由题设条件得 由（6）、（7）解得或，又，故.9、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.（）求椭圆W的方程；（）求证： ()；（）求面积的最大值. 解：（）设椭圆W的方程为，由题意可知解得，所以椭圆W的方程为4分（）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为得.由直线与椭圆W交于、两点，可知，解得设点，的坐标分别为，,则，因为，所以，.又因为，所以 10分解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,则点的坐标为，由椭圆的第二定义可得,所以，三点共线，即10分()由题意知 ，当且仅当时“=”成立，所以面积的最大值为10、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知抛物线，点P（1，1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0. （I）求抛物线C的焦点坐标； （II）若点M满足，求点M的轨迹方程.解：（I）将P（1，1）代入抛物线C的方程得a=1，抛物线C的方程为，即焦点坐标为F（0，）.4分 （II）设直线PA的方程为，联立方程消去y得则由7分同理直线PB的方程为联立方程消去y得则又9分设点M的坐标为（x，y），由又11分所求M的轨迹方程为：11、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知定圆圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C. （I）求曲线C的方程； （II）若点为曲线C上一点，求证：直线与曲线C有且只有一个交点.解：（I）圆A的圆心为，设动圆M的圆心由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1r2，即|MA|+|MB|=4，所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由故曲线C的方程为6分 （II）当，消去 由点为曲线C上一点，于是方程可以化简为 解得，综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为.12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l. （1）求双曲线的方程； （2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值.（1）解：依题意有：可得双曲线方程为 6分 （2）解：设所以 13、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：ABC的周长为22.记动点C的轨迹为曲线W.()求W的方程；()经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（）已知点M（，0），N（0, 1），在()的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：() 设C（x, y）, , , , 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. . . W: . 2分() 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得. 整理，得. 5分 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，解得或. 满足条件的k的取值范围为 7分（）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则（x1+x2，y1+y2), 由得. 又 因为， 所以. 11分 所以与共线等价于. 将代入上式，解得. 所以不存在常数k，使得向量与共线.14、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2（I）求线段中点的轨迹的方程；（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程解：（I）由题可设，其中.则 1分的面积为定值2，. 2分，消去，得： 4分由于，所以点的轨迹方程为（x0）5分（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为由消去得：， 6分设点、的横坐标分别是、，由得 8分解之得：. 9分由消去得：，由消去得：，. 10分由于为的三等分点，. 11分解之得. 12分经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.15、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点当直线与x轴垂直时，（）求椭圆的方程；（II）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（）求的最大值和最小值解：（）由抛物线方程，得焦点设椭圆的方程： 解方程组 得C（-1，2），D（1，-2） 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， 2分又，因此，解得并推得 故椭圆的方程为 4分（）， 圆过点O、，圆心M在直线上设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，由得解得所求圆的方程为8分（） 由若垂直于轴，则， ， 9分若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为 由 得 ，方程有两个不等的实数根设，., 11分 = ，所以当直线垂于轴时，取得最大值当直线与轴重合时，取得最小值16、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入， 消去整理得 . 2分设 则 . 4分由线段中点的横坐标是， 得，解得，适合. . 5分所以直线的方程为 ，或 . . 6分（）解：假设在轴上存在点，使为常数. 当直线与轴不垂直时，由（）知 所以 . 8分将代入，整理得 注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 . 11分 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有 . 13分综上，在轴上存在定点，使为常数.17、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线和的斜率之积为定值；（）证明：直线和的斜率之积为定值；（）求点M的轨迹方程。解：(I)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxp18、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)在面积为9的中，且。现建立以A点为坐标原点，以的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示。(1)求AB、AC所在的直线方程；(2)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；(3)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求的值。解：（1）设则由为锐角，AC所在的直线方程为y=2xAB所在的直线方程为y= -2x.4分（2）设所求双曲线为设，由可得：，即 由，可得，又， ，即，代入（1）得，双曲线方程为9分（3）由题设可知，设点D为，则又点D到AB，AC所在直线距离，而=19、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知椭圆的离心率为，且其焦点F（c，0）(c0)到相应准线l的距离为3，过焦点F的直线与椭圆交于A、B两点。(1)求椭圆的标准方程；(2)设M为右顶点，则直线AM、BM与准线l分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合），求证：解：（1）由题意有 解得 椭圆的标准方程为 5分（2）若直线AB与轴垂直，则直线AB的方程是该椭圆的准线方程为,， ， 当直线AB与轴垂直时，命题成立。若直线AB与轴不垂直，则设直线AB的斜率为，直线AB的方程为又设联立 消y得 又A、M、P三点共线， 同理， 综上所述：20、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。 （）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标； （）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程； （）过点F（1，0）作直线l与（）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（）中的点）的取值范围。解：（）由题，得，设则由 又在双曲线上，则 联立、，解得 由题意， 点T的坐标为（2，0） 3分（）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得 1分由A2、Q、M三点共线，得 1分联立、，解得 1分在双曲线上，轨迹E的方程为 1分（）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为 中，得 设 则由根与系数的关系，得 2分 有将式平方除以式，得 1分由 1分又故令 ，即 而 ， 21、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。（1）求双曲线C的标准方程（2）当直线l的斜率为何值时，。本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。解（1）设双曲线C的方程为又P（6,6）在双曲线C上，由、解得所以双曲线C的方程为。（2）由双曲线C的方程可得所以A1PA2的重点G（2,2）设直线l的方程为代入C的方程，整理得整理得解得由，可得解得由、，得22、(东北三校2008年高三第一次联考)设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且APQFOxy （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l： 相切，求椭圆C的方程. 解：设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知2分设，得4分因为点P在椭圆上，所以6分整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故椭圆的离心率e8分由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a10分所以，解得a=2，c=1，b=，所求椭圆方程为23、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点. （1）求此双曲线的方程；（2）设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得. 若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）设双曲线的方程为，将点代入可得， 双曲线的方程为. （2）