2018年高中数学_第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质课件8 新人教b版选修1-1

椭圆的简单几何性质 复习 1 椭圆的定义 平面内 到两定点F1 F2的距离之和为常数 大于 F1F2 的动点的轨迹叫做椭圆 2 椭圆的标准方程是 3 椭圆中a b c的关系是 a2 b2 c2 当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 1 顶点 椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆有四个顶点 a 0 0 b 线段A1A2叫做椭圆的长轴 且长为2a a叫做椭圆的长半轴长线段B1B2叫做椭圆的短轴 且长为2b b叫做椭圆的短半轴长 O x F1 F2 A2 B1 B2 y A1 a 0 a 0 0 b 0 b 为椭圆的焦距 为椭圆的半焦距 O x F1 A2 B1 B2 y A1 a 0 a 0 0 b 0 b a b c的几何意义 a c b F2 a x a b y b知椭圆落在x a y b组成的矩形中 2 范围 2 椭圆的对称性 对称性 从图形上看 椭圆关于x轴 y轴 原点对称 从方程上看 1 把x换成 x方程不变 图象关于y轴对称 2 把y换成 y方程不变 图象关于x轴对称 3 把x换成 x 同时把y换成 y方程不变 图象关于原点成中心对称 根据前面所学有关知识画出下列图形 1 2 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4 椭圆的离心率 刻画椭圆扁平程度的量 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率 1 离心率的取值范围 2 离心率对椭圆形状的影响 0 e 1 3 e与a b的关系 思考 当e 0时 曲线是什么 当e 1时曲线又是什么 1 e越接近1 c就越接近a 从而b就越小 椭圆就越扁2 e越接近0 c就越接近0 从而b就越大 椭圆就越圆 圆 线段F1F2 两种标准方程的椭圆性质的比较 关于x轴 y轴 原点对称 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 例1求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴长 离心率 焦点和顶点坐标 解 把已知方程化为标准方程 椭圆的四个顶点是A1 5 0 A2 5 0 B1 0 4 B2 0 4 离心率 焦点F1 3 0 和F2 3 0 因此长轴长 短轴长 练习 已知椭圆的离心率求m的值及椭圆的长轴和短轴的长 焦点坐标 顶点坐标 练习 求下列椭圆的长轴长 短轴长 焦点坐标 顶点坐标和离心率 1 x2 9y2 81 2 25x2 9y2 225 3 16x2 y2 25 4 4x2 5y2 1 例2 点M x y 与定点F 4 0 的距离和它到直线的距离的比是常数 求点M的轨迹 练习 P50T2 椭圆的第二定义 平面内到定点 焦点 的距离和它到定直线 准线 的距离的比是一个常数 离心率 0 常数 1 的点的轨迹是椭圆 例3求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P 3 0 Q 0 2 长轴长等于20 离心率3 5 一焦点将长轴分成 的两部分 且经过点 解 方法一 设方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 将点的坐标方程 求出m 1 9 n 1 4 方法二 利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点 于是焦点在x轴上 且点P Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 故a 3 b 2 所以椭圆的标准方程为 注 待定系数法求椭圆标准方程的步骤 定型 定量 或 或 作业 P49T5 1 已知椭圆的一个焦点为F 6 0 点B C是短轴的两端点 FBC是等边三角形 求这个椭圆的标准方程 例4 1 椭圆的左焦点是两个顶点 如果到F1直线AB的距离为 则椭圆的离心率e 题型三 椭圆的离心率问题 例4 2 设M为椭圆上一点 为椭圆的焦点 如果 求椭圆的离心率 练习 D 2若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍 则这个椭圆的离心率是 D 2 2 2椭圆的简单几何性质 1 点 直线与椭圆的位置关系 2 弦长公式 第三课时 探究 点与椭圆有几种位置关系 该怎样判断呢 类比圆可以吗 点与椭圆的位置关系 D 练一下 回忆 直线与圆的位置关系 1 位置关系 相交 相切 相离2 判别方法 代数法 联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组 1 0 直线与圆相交 有两个公共点 2 0 直线与圆相切 有且只有一个公共点 3 0 直线与圆相离 无公共点 通法 3 几何法点线距d与半径r的大小关系 直线与椭圆的位置关系 种类 相离 没有交点 相切 一个交点 相交 二个交点 相离 没有交点 相切 一个交点 相交 二个交点 直线与椭圆的位置关系的判定 代数方法 1 位置关系 相交 相切 相离2 判别方法 代数法 联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组 1 0 直线与椭圆相交 有两个公共点 2 0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点 3 0 直线与椭圆相离 无公共点 通法 1 直线与椭圆的位置关系 例1 k为何值时 直线y kx 2和曲线2x2 3y2 6有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 1 直线与椭圆的位置关系 B 2 无论k为何值 直线y kx 2和曲线交点情况满足 A 没有公共点B 一个公共点C 两个公共点D 有公共点 变式 D 思考 最大的距离是多少 1 直线与椭圆的位置关系 练习 已知直线y x 与椭圆x2 4y2 2 判断它们的位置关系 解 联立方程组 消去y 0 因为 所以 方程 有两个根 那么 相交所得的弦的弦长是多少 则原方程组有两组解 1 由韦达定理 1 直线与椭圆的位置关系 设直线与椭圆交于P1 x1 y1 P2 x2 y2 两点 直线P1P2的斜率为k 弦长公式 2 弦长公式 例3 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点 交椭圆于A B两点 求弦AB之长 2 弦长公式 例4 已知椭圆过点P 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 解 韦达定理 斜率 韦达定理法 利用韦达定理及中点坐标公式来构造 弦中点问题 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 作差构造出中点坐标和斜率 点 作差 弦中点问题 例4 已知椭圆过点P 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 例4 已知椭圆过点P 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 所以x2 4y2 4 x 2 4 2 y 2 整理得x 2y 4 0从而A B在直线x 2y 4 0上而过A B两点的直线有且只有一条 解后反思 中点弦问题求解关键在于充分利用 中