2018年高中数学_第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念课件3 北师大版选修2-2

导数的概念 瞬时速度 物体在某一时刻的速度 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度为h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系h 4 9t2 6 5t 10 求 2时的瞬时速度 新课学习 思考 t在 2 2 1 内的平均速度是多少 t在 2 2 01 内的平均速度是多少 t在 2 2 001 内的平均速度是多少 t在 2 2 0001 内的平均速度是多少 t在 2 2 00001 内的平均速度是多少 t 0时 从2s到 2 t s这段时间内平均速度 t 0时 从 2 t s到2s这段时间内平均速度 当 t 0 01时 当 t 0 01时 当 t 0 001时 当 t 0 001时 当 t 0 0001时 当 t 0 0001时 t 0 00001 t 0 00001 t 0 000001 t 0 000001 当 t趋近于0时 平均速度有什么变化趋势 当 t趋近于0时 即无论t从小于2的一边 还是从大于2的一边趋近于2时 平均速度都趋近与一个确定的值 13 1 从物理的角度看 时间间隔 t 无限变小时 平均速度就无限趋近于t 2时的瞬时速度 因此 运动员在t 2时的瞬时速度是 13 1m s 跳水运动员在t0到t0 t时刻内的平均速度 跳水运动员在t t0时刻的瞬时速度 函数f x 从到的平均变化率 函数f x 在处的瞬时变化率为 导数的定义 例1将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 解 在第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义 所以 求导数的步骤 1 求平均变化率 2 取极限得导数 牛顿 莱布尼茨 导数的几何意义 如图 函数y f x 的图象上有任意一点P x0 y0 Q为P在曲线C上邻近的一点 Q x0 x y0 y P Q 割线 切线 T 当点Q沿着曲线逐渐向点P接近 x 0 割线PQ有一个极限位置PT 我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 曲线在点P x0 y0 处的切线的斜率 函数f x 在点x0处的导数 所以函数y f x 在点x0处存在导数时 导数的几何意义为 函数在该点处切线的斜率 即 练一练 1 求函数f x x2在x 3处的导数 2 1 求函数f x x2在x 3处的导数 解 2 解 由导数的几何意义知 所求的切线的斜率为 1 且切线经过点 1 1 由点斜式得 f x 在x 1处切线的方程为y x 1 小结 导数概念的形成过程 平均速度 平均变化率 瞬时变化率 瞬时速度 导数 由平均变化率过渡到瞬时变化率的三种方式 解析式抽象 几何直观感受 数值逼近 马克思曾对微积分作过一番历史考察 他把这一时期称为 神秘的微积分 时期 并有这样的评论 于是 人们自己相信了新发现的算法的神秘性 这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的 而且在几何应用上是惊人的 结果 人们就这样把自己神秘化了 对这新发现的评价更高了 使一群旧式正统派数学家更加恼怒 并且激起了敌对的叫嚣 这