2018年高中数学_第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性课件9 新人教b版选修1-1

利用导数判断函数的单调性 4 对数函数的导数 5 指数函数的导数 3 三角函数 一 复习回顾 基本初等函数的导数公式 导数运算法则 函数y f x 在给定区间G上 当x1 x2 G且x1 x2时 函数单调性判定 单调函数的图象特征 1 都有f x1 f x2 则f x 在G上是增函数 2 都有f x1 f x2 则f x 在G上是减函数 若f x 在G上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在G上具有严格的单调性 G称为单调区间 G a b 二 复习引入 1 函数的单调性也叫函数的增减性 2 函数的单调性是对某个区间而言的 它是个局部概念 这个区间是定义域的子集 3 单调区间 针对自变量x而言的 若函数在此区间上是增函数 则为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数 则为单调递减区间 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设x1 x2的前提下 比较f x1 f x2 与的大小 在函数y f x 比较复杂的情况下 比较f x1 与f x2 的大小并不很容易 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 1 1 cosx 增 自主检测题 单调性与导数有什么关系 精讲精析 观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内y 0 那么y f x 为这个区间内的增函数 如果在这个区间内y 0 那么y f x 为这个区间内的减函数 判断函数单调性的常用方法 1 定义法 2 导数法 结论 y 0 增函数 y 0 减函数 思考 也就是说 f x 0 是 y f x 在某个区间上递增 的充分不必要条件 例1确定函数f x x2 2x 4在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 f x x2 2x 4 2x 2 令2x 2 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 f x 是增函数 令2x 2 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 f x 是减函数 例题讲解 例2确定函数f x 2x3 6x2 7在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 f x 2x3 6x2 7 6x2 12x 令6x2 12x 0 解得x 2或x 0 当x 0 时 f x 0 f x 是增函数 当x 2 时 f x 0 f x 是增函数 令6x2 12x 0 解得0 x 2 当x 0 2 时 f x 0 f x 是减函数 用导数法确定函数的单调性时的步骤是 1 求出函数的导函数 2 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递增区间 3 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递减区间 注 单调区间不以 并集 出现 2 导数的应用 判断单调性 求单调区间 练习题 1 函数y 3x x3的单调增区间是 A 0 B 1 C 1 1 D 1 2 设f x x x 0 则f x 的单调增区间是 A 2 B 2 0 C D 0 例3 如图 设有圆C和定点O 当l从l0开始在平面上绕O点匀速旋转 旋转角度不超过90 时 它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数 它的图象大致是下列四种情况中的哪一种 解 由于是匀速旋转 阴影部分的面积S t 开始和最后时段缓慢增加 中间时段S增速快 图A表示S的增速是常数 与实际不符 图A应否定 图B表示最后时段S的增速快 也与实际不符 图B也应否定 图C表示开始时段与最后时段S的增速快 也与实际不符 图C也应否定 图D表示开始与结束时段 S的增速慢 中间的时段增速快 符合实际 应选D 练习 如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 A B C D h t O h t O h t O h t O 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 如图 函数在或内的图象 陡峭 在或内的图象 平缓 通过函数图像 不仅可以看出函数的增或减 还可以看出其变化的快慢 结合图像 从导数的角度解释变化快慢的情况 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在 0 上是减函数 例4证明函数f x 在 0 上是减函数 证法一 用以前学的方法证 任取两个数x1 x2 0 设x1 x2 f x1 f x2 x1 0 x2 0 x1x2 0 x1 x2 x2 x1 0 0 点评 比较一下两种方法 用求导证明是不是更简捷一些 如果是更复杂一