2018年高中数学_第一章 立体几何初步 1.4.2 空间图形的公理课件3 北师大版必修2

4 2空间图形的公理 空间图形多种多样 但它们的基本关系很容易观察到 一个小小的长方体 就包含了所有的基本关系 上节课我们学习了哪些基本关系 初中的时候 我们学习了一些基本事实 公理 两点确定一条直线两点之间线段最短过直线外一点 有且仅有一条直线与这条直线平行思考 两点确定一条直线 那么怎样确定一个平面呢 文字语言 图形语言 符号语言 公理1 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 即可以确定一个平面 A B C 作用 一确定平面 二用来证明点 线共面 推论 1 一条直线和直线外一点确定一个平面2 两条相交直线确定一个平面3 两条平行直线确定一个平面 作用 用来判断直线是否在平面内 公理2 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 文字语言 图形语言 符号语言 思考 直线与平面的位置关系有几种 分别是什么 线在面内线面相交线面不相交 线面平行同学们能否用图形语言表示以上三种线面关系 文字语言 图形语言 符号语言 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P 作用 一是判定两个平面是否相交 二是判断点在直线上 思考1 设直线a b 将直线a在空间中作平行移动 在平移过程中a与b仍保持平行吗 前提是二者不重合 探究点1平行公理 提示 平行 思考2 如图 在长方体ABCD A B C D 中 BB AA DD AA 那么BB 与DD 平行吗 提示 平行 思考3 取一块长方形纸板ABCD E F分别为AB CD的中点 将纸板沿EF折起 在空间中直线AD与BC的位置关系如何 提示 平行 若a b b c 公理4平行于同一条直线的两条直线平行 则a c 问题 观察下列图形 直线与直线的位置关系有哪些 探究点2异面直线 2 如图 中直线a和b在同一个平面内 但没有公共点 这样的两条直线叫作平行直线 记作 a b 空间两条直线的位置关系有三种 1 如图 中直线a和b只有一个公共点A 这样的两条直线叫作相交直线 记作 a b A 3 如图 中直线AD与直线BB1 直线AD与直线BD1 它们不同在任何一个平面内 这样的两条直线叫作异面直线 为了表示异面直线不共面的特点 作图时通常用一个或两个平面衬托 如图 提升总结 对于异面直线的几点认识 1 若直线a b是异面直线 则在空间中找不到一个平面 使其同时经过a b两条直线 2 不能误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线 3 画异面直线时 为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点 常常需要以辅助平面作为衬托 以加强直观性 例1在正方体ABCD A1B1C1D1中 直线AB与C1D1 AD1与BC1 AA1与CC1 AC与A1C1是什么位置关系 解 AB C1D1 AD1 BC1 AA1 CC1 AC A1C1 例2在空间四边形ABCD中 E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 证明 如图 连接BD 因为FG是 CBD的中位线 所以 又因为EH是 ABD的中位线 所以 所以四边形EFGH是平行四边形 思考1 在平面上 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角的大小有什么关系 探究点3 等角 定理 提示 相等或互补 思考2 如图 四棱柱ABCD A B C D 的底面是平行四边形 ADC与 A D C ADC与 B A D 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 提示 相等 提示 互补 思考3 综上分析我们可以得到什么定理 提示 空间中 如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 探究点4两条异面直线所成的角 如图所示 a b是两条异面直线 在空间中任选一点O 过O点分别作a b的平行线a 和b a b 则这两条线所成 的锐角 或直角 称为异面直线a b所成的角 若两条异面直线所成角为90 则称它们互相垂直 异面直线a与b垂直记作 a b 异面直线所成角 的取值范围 例3如图 将无盖正方体纸盒展开 直线AB CD在原正方体中的位置关系是 A 平行B 相交且垂直C 异面直线D 相交成60 D 解 选D 将上面的展开图还原成正方体 点B与点D重合 容易知道AB BC CA 从而 ABC是等边三角形 所以选D 例4在正方体ABCD A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角 1 AB与CC1 2 A1B1与AC 3 A1B与D1B1 B1 C C1 A B D A1 D1 解 1 AB与CC1所成的角 等于90 2 A1B1与AC所成的角 等于45 3 A1B与D1B1所成的角 等于60 提升总结 求异面直线所成角的步骤 异面直线所成角 相交线所成的角 解三角形求角 取锐角或直角 平移 构造三角形 即 作 证 算 答 注意 对于有数据的题目 要注意勾股定理 三角函数 边边关系 对于有关中点的题目要留意三角形中位线 1 判断对错 1 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 2 空间两条不相交的直线一定是异面直线 3 垂直于同一条直线的两条直线必平行 4 若一条直线垂直于两条平行直线中的一条 则它一定与另一条直线垂直 2 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 A 异面B 平行C 相交D 以上都有可能 解析 选D 如图 a b c与d相交 a与d异面 D 3 直线a b c两两平行 但不共面 经过其中两条直线的平面的个数为 A 1B 3C 6D 0 解析 选B 以三棱柱为例 三条侧棱两两平行 但不共面 显然经过其中的两