2019高考数学一轮复习_第十五章 坐标系与参数方程课件 理

第十五章坐标系与参数方程 高考理数 考点一坐标系与极坐标1 极坐标系 在平面上取一个定点O 由O点出发的一条射线Ox 一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及计算角度的正方向 通常取逆时针方向 合称为一个极坐标系 O点称为极点 Ox称为极轴 平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度 和从Ox到OM的角度 来刻画 如图所示 这两个数组成的有序数对 称为点M的极坐标 称为 极径 称为 极角 知识清单 2 极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点 它的直角坐标为 x y 极坐标为 由图可知下面的关系式成立 或顺便指出 上式对 0也成立 这就是极坐标与直角坐标的互化公式 3 圆的极坐标方程 1 圆心在极点 半径为R的圆的极坐标方程为 R 2 圆心在极轴上的点 a 0 处 且过极点O的圆的极坐标方程为 2acos 3 圆心在点处且过极点O的圆的极坐标方程为 2asin 注意当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时 要求圆的极坐标方程 通常把极点放置在圆心处 极轴与x轴同向 然后运用极坐标与直角坐标的互化公式 或4 简单曲线的极坐标方程 考点二参数方程1 参数方程的概念一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么方程就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2 直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来 设直线的点斜式方程为y y0 k x x0 k 0 其中k tan 为直线的倾斜角 代入上式 得y y0 x x0 0且 即 记上式的比值为t 整理后得t为参数 3 圆的参数方程若圆心为点M0 x0 y0 半径为R 则圆的参数方程为 为参数 4 椭圆的参数方程椭圆 1 a b 0 的参数方程为 为参数 5 抛物线的参数方程是t为参数 知识拓展 1 极坐标方程与直角坐标方程的互化 1 前提条件 i 极点与原点重合 ii 极轴与x轴正向重合 iii 取相同的单位长度 2 若把直角坐标化为极坐标 求极角 时 应注意判断角的终边所在的象限 以便正确地求出角 2 参数方程化为普通方程的关键是消参数 一要熟练掌握常用技巧 如整体代换 二要注意变量取值范围的一致性 这一点最易忽视 3 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义 有如下常用结论 1 直线与圆锥曲线相交 交点对应的参数分别为t1 t2 则弦长l t1 t2 2 定点M0是弦M1M2的中点 t1 t2 0 3 设弦M1M2的中点为M 则点M对应的参数值tM 由此可求 M2M 及中点坐标 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与x轴正半轴重合 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 极坐标方程化为直角坐标方程时 通常通过变形构造 cos sin 2的形式进行解决 其中方程的两边同乘 或同时平方是常用的变形方法 要注意变形的等价性 例1 2017河北衡水中学期末 22 在平面直角坐标系中 以坐标原点为极点 x轴非负半轴为极轴建立极坐标系 已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为cos 2sin 0 2 1 求直线l与椭圆C的直角坐标方程 2 若点Q是椭圆C上的动点 求点Q到直线l的距离的最大值 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 方法技巧 解题导引 解析 1 cos 2sin 0 cos 2 sin 0 x 2y 0 2 2cos2 4 2sin2 4 x2 4y2 4 y2 1 所以直线l与椭圆C的直角坐标方程分别为x 2y 0 y2 1 2 因为椭圆C y2 1的参数方程为 为参数 所以可设点Q 2cos sin 因此点Q到直线l x 2y 0的距离d 所以当 k k Z 即 k 时 d取最大值 将参数方程中的参数消去便得到普通方程 消去参数时常用的方法是代入法 有时也根据参数的特征 通过对参数方程的加 减 乘 除 乘方等运算而消去参数 消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响 即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 参数方程与普通方程的互化方法 例2 2017课标全国 22 10分 在直角坐标系xOy中 直线l1的参数方程为 t为参数 直线l2的参数方程为 m为参数 设l1与l2的交点为P 当k变化时 P的轨迹为曲线C 1 写出C的普通方程 2 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 设l3 cos sin 0 M为l3与C的交点 求M的极径 解题导引 解析 1 消去参数t得l1的普通方程l1 y k x 2 消去参数m得l2的普通方程l2 y x 2 设P x y 由题设得消去k得x2 y2 4 y 0 所以C的普通方程为x2 y2 4 y 0 2 C的极坐标方程为 2 cos2 sin2 4 0 2 联立得cos sin 2 cos si