2019高考数学一轮复习_第九章 平面解析几何 9.2 圆的方程课件 理

考点圆的方程1 圆的标准方程 1 方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 表示圆心为 a b 半径为r的圆的标准方程 2 特别地 以原点为圆心 r r 0 为半径的圆的标准方程为x2 y2 r2 2 圆的一般方程方程x2 y2 Dx Ey F 0可变形为 故有 1 当D2 E2 4F 0时 方程表示以 为圆心 以 知识清单 为半径的圆 2 当D2 E2 4F 0时 方程表示一个点 3 当D2 E2 4Fr2 则点P在圆外 2 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点P在圆上 3 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点P在 圆内 1 方程选择原则求圆的方程时 如果由已知条件易求得圆心坐标 半径或需要用圆心坐标列方程 常选用标准方程 如果已知条件与圆心坐标 半径无直接关系 常选用一般方程 2 求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法 大致步骤如下 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或D E F的方程组 3 解出a b r或D E F代入标准方程或一般方程 求圆的方程的方法 方法技巧 3 求圆的方程时常用到的圆的几个性质 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任一弦的中垂线上 3 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心三点共线 4 常见圆的方程的设法圆心在原点 标准方程 x2 y2 r2 一般方程 x2 y2 r2 0 过原点 标准方程 x a 2 y b 2 a2 b2 一般方程 x2 y2 Dx Ey 0 圆心在x轴上 标准方程 x a 2 y2 r2 一般方程 x2 y2 Dx F 0 圆心在y轴上 标准方程 x2 y b 2 r2 一般方程 x2 y2 Ey F 0 与x轴相切 标准方程 x a 2 y b 2 b2 一般方程 x2 y2 Dx Ey D2 0 与y轴相切 标准方程 x a 2 y b 2 a2 一般方程 x2 y2 Dx Ey E2 0 例1 2017广东七校联考 14 一个圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 且在直线y x上截得的弦长为2 则该圆的方程为 解题导引 解析解法一 所求圆的圆心在直线x 3y 0上 设所求圆的圆心为 3a a 又所求圆与y轴相切 半径r 3 a 又所求圆在直线y x上截得的弦长为2 圆心 3a a 到直线y x的距离d d2 2 r2 即2a2 7 9a2 a 1 故所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 解法二 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 则圆心 a b 到直线y x的距离为 r2 7 即2r2 a b 2 14 由于所求圆与y轴相切 r2 a2 又 所求圆的圆心在直线x 3y 0上 a 3b 0 联立 解得或故所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 解法三 设所求的圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 则圆心坐标为 半径r 在圆的方程中 令x 0 得y2 Ey F 0 由于所求圆与y轴相切 0 则E2 4F 圆心到直线y x的距离为d 由已知得d2 2 r2 即 D E 2 56 2 D2 E2 4F 又圆心在直线x 3y 0上 D 3E 0 联立 解得或故所求圆的方程为x2 y2 6x 2y 1 0或x2 y2 6x 2y 1 0 答案x2 y2 6x 2y 1 0或x2 y2 6x 2y 1 0 涉及与圆有关的最值问题 一般要借助图形性质 利用数形结合和函数思想求解 一般地 1 形如u 型的 转化为直线斜率的最值问题求解 2 形如t ax by型的 转化为动直线截距的最值问题求解 3 形如m x a 2 y b 2型的 转化为两点间的距离平方的最值问题求解 例2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 解决与圆有关的最值问题的方法 解题导引 解析 1 原方程化为 x 2 2 y2 3 表示以点 2 0 为圆心 为半径的圆 设 k 则y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最值 此时有 解得k 故的最大值为 最小值为 2 设y x b 则y x b 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最值 此时 解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 3 x2 y2表示圆上