2018年高中数学_第一章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性课件5 新人教b版选修2-2

1 3 1利用导数判断函数的单调性 复习引入 问题1 判断函数的单调性有哪些方法 问题2 讨论函数y x2 4x 3的单调性 定义法 单增区间 单减区间 图象法 问题3 如何判断函数的单调性 提出问题 1 你能画出函数的图象吗 2 能用单调性的定义吗 发现问题 定义是解决单调性最根本的工具 但有时很麻烦 甚至解决不了 尤其是在不知道函数的图象的时候 如该例 这就需要我们寻求一个新的方法来解决 1 掌握函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 3 会求函数的单调区间 学习重点 会利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 学习难点 探索函数的单调性与导数的关系 观察思考 随着时间的变化 运动员离水面的高度的变化有什么趋势 是逐渐增大还是逐步减小 如图 1 它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h t 4 9t2 6 5t 10的图象 图 2 表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象 运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 通过观察图象 我们可以发现 1 运动员从起点到最高点 离水面的高度h随时间t的增加而增加 即h t 是增函数 相应地 2 从最高点到入水 运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少 即h t 是减函数 相应地 上述情况是否具有一般性呢 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率 函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的 那么函数的单调性与导数有什么关系呢 观察下面函数的图象 探讨函数的单调性与其导数正负的关系 2 再观察函数y x2 4x 3的图象 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性的关系是 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么f x 在这个区间内单调递增 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 如果f x 0 那么f x 在这个区间内单调递减 小结 函数的单调性与导数的关系 利用导函数判断原函数大致图象 例1已知导函数的下列信息 当10 x 0当x 4 或x4 或x 1时 可知在此区间内单调递减 当x 4 或x 1时 请同学们试着在演草纸上画出它的图像 利用导数求函数的单调区间 例2 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 根据导数确定函数的单调性步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数f x 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 利用导数判断函数单调性及求单调区间应注意的问题 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在定义域内 通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间 2 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于零的点外 还有注意在定义域内不连续点和不可导点 3 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个 这些单调区间中间不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字隔开 练一练 1 求下列函数的单调区间 1 函数的单调性与导数的关系 数学知识 2 求解函数y f x 单调区间的步骤 确定函数