《数学分析》上册教案第四章　函数的连续性.doc

数学分析上册教案 第四章 函数连续性 第四章函数的连续性在数学分析中,要研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数,就是连续函数.从今天开始,我们就来看看这类函数的特点.主要讲以下几个问题：1 什么是“函数的连续性”2 “间断”或“不连续”有哪些情形?3 连续函数有哪些性质?4 初等函数的连续性有何特点?1连续性概念教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念.教学要求：1、使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义,并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；2、应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发,理解函数在一点间断以及函数间断点的概念,从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；3、明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的,使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵.教学重点：函数连续性概念.教学难点：函数连续性概念.教学过程： “连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲,是不难理解的.如图：从图中可看出,、在点出现了间断,是一条连在一起的、连续不断的曲线；存在但不等于；点无定义；不存在.图形只能帮助我们理解概念,下面给出连续的严格定义.一、函数在一点的连续性(一) 函数在点连续的定义定义1（在点连续） 设函数在某内有定义,若,则称在点连续.注,即“在点连续”意味着“极限运算与对应法则可交换.(二) 例子例1 在处连续.例2 .例3 讨论函数在点x=0处连续性.(三) 函数在点连续的等价定义1、记号：自变量在点的增量或改变量.设,函数在点的增量.注 自变量的增量或函数的增量可正、可负、也可为零.（区别于“增加”）.2、 等价定义1：函数在点连续.3、 等价定义2：函数在点连续,当时,.注 一个定义是等价的,根据具体的问题选用不同的表述方式.如用三种定义,可以证明以下命题：例4 证明函数在点连续,其中为Dirichlet函数.(四) 函数在点有极限与函数在点连续之间的关系1、 对邻域的要求看：在讨论极限时,假定在内不定义（在点可以没有定义）.而在点连续则要求在某内有定义（包括）.2、 极限中,要求,而当“在点连续”时,由于x=时,恒成立.所以换为：.3、 从对极限的要求看：“在点连续”不仅要求“在点有极限”,而且；而在讨论时,不要求它等于,甚至于可以不存在.总的来讲,函数在点连续的要求是：在点有定义；存在；. 任何一条不满足,在点就不连续.同时,由定义可知,函数在某点是可连续,是函数在这点的局部性质.(五) 在点左（右）连续定义1、定义定义2：设函数在点（内有定义）,若（）,则称在点右（左）连续.2、在点连续的等价刻划定理4.1函数在点连续在点既是右连续,又是左连续.如上例4：（右连续）,（左连续）.例5 讨论函数在点的连续性.例6 设,其中、为常数.问： 、为何值时,存在? 、为何值时,在点连续?解 ,故 ,为任意常数时,存在； 欲使在点连续,应有二、区间上的连续函数(一) 定义若函数在区间上每一点都连续,则称为上的连续函数.对于闭区间或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续.若函数在区间上仅有有限个第一类间断点,则称在上分段连续.(二) 例子1、函数是上的连续函数；2、函数在内每一点都连续.在处为左连续,在处为右连续,因而它在上连续.命题 初等函数在其定义区间上为连续函数.函数,在上是分段连续的在上是分段连续吗?在上是分段连续吗?三、间断点及其分类(一) 不连续点（间断点）定义定义3设函数在某内有定义,若在点无定义,或在点有定义而不2,不则称点为函数的间断点或不连续点.注这个定义不好；还不如说：设在内不定义,如果在不连续,则称是的不连续点（或间断点）.由上述分析可见,若为函数的间断点,则必出现下列情形之一：在点无定义；不存在；.据此,对函数的间断点作如下分类：(二) 间断点分类1、去间断点若,而在点无定义,或有定义但,则称为的可去间断点.例如：是函数的可去间断点.“可去间断点”名称何来?通过一定的手段,可以“去掉”.设是的可去间断点,且.则是的连续点.例如,对,定义,则在连续.2、 跃间断点若存在,但,则称点为函数的跳跃间断点.例如,对,故是它的跳跃间断点.再如是的跳跃间断点.可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点,其特点的函数在该点处的左、右极限都存在.3、 二类间断点函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数的第二类间断点.例如,是函数,的第二类间断点.定理 在上单调,若点为函数的间断点,则点必是的第一类间断点. 证明 无妨设在单调上升,当时,函数值单调上升,有上界,所以极限存在,且. 同理.若,为连续点,若,为第一类间断点.例7 讨论函数的间断点类型.