数学交轨法.doc

高中数学方法讲解-交轨法班级：四班 姓名：一般用于求二动曲线交点的轨迹方程其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程例1.设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )A. B. C.D.解析：设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，解得x0=答案：C例2.如右图，给出定点A(a，0)(a0)和直线l：x1B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于C求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系依题意，记B(1，b)(bR)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=bx设点C(x，y)，则有0xa，由OC平分AOB，知点C到OA、OB距离相等根据点到直线的距离公式得依题设，点C在直线AB上，故有将式代入式得整理得 y2(1a)x22ax(1a)y20，若y0，则(1a)x22ax(1a)y2=0(0xa)；若y0，则b=0，AOB，点C的坐标为(0，0)，满足上式综上得点C的轨迹方程为(1a)x22ax(1a)y2=0(0xa)(i)当a1时，轨迹方程化为 y2x(0x1)此时，方程表示抛物线弧段；(ii)当a1时，轨迹方程为所以，当0a1时，方程表示椭圆弧段；当a1时，方程表示双曲线一支的弧段例3.已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；.解：(1)点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)例4.如右图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程如图，建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为y2=2px(p0)(xAxxB，y0)，其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p|MN| p4，xA1所以曲线段C的方程为y28x(1x4，y0)例5.:抛物线y2=2px(p0)，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且OAOB，过O作OPAB交AB于P，求P点轨迹方程.解:设OA=y=kx, 则， 得 同理 B(2pk2, -2pk) AB: . 而op: . P为AB与OP的交点，联立 (1)(2)消去k, y2=-(x-2p)x, x2+y2-2px=0(x0)即为所求.巧练一：双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.解：设P(x0,y0）(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xa).巧练二：已知双曲线=1(m0,n0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则