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习题1一、 填空题1玻尔的量子化条件为 。2德布罗意关系为 。3用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。4波函数的统计解释：_5 为归一化波函数，粒子在 方向、立体角 内出现的几率为 ，在半径为 ，厚度为 的球壳内粒子出现的几率为 。6波函数的标准条件为 。7 ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为_。8自由粒子体系，_守恒；中心力场中运动的粒子_守恒。9力学量算符应满足的两个性质是 。10厄密算符的本征函数具有 。11设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为_。12. _; _; _。28如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _。13坐标和动量的测不准关系是_。14在定态条件下，守恒的力学量是_。15隧道效应是指_。16量子力学中，原子的轨道半径实际是指_。17 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为 。18对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 。 19设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为_。20力学量算符 在态 下的平均值可写为 的条件为_。21量子力学中的态是希尔伯特空间的_；算符是希尔伯特空间的_。21设粒子处于态 ， 为归一化波函数， 为球谐函数，则系数c的取值为 ， 的可能值为， 本征值为 出现的几率为 。 22原子跃迁的选择定则为 。23自旋角动量与自旋磁矩的关系为 。24 为泡利算符，则 ， ， 。25 为自旋算符，则 ， ， 。26乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 _， _。27轨道磁矩与轨道角动量的关系是_;自旋磁矩与自旋角动量的关系是_。27费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_。27 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则在态 下，自旋算符 对自旋的平均可表示为_；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为_。27 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则 的意义为_；_。二、 计算题1在 和 的共同表象中，算符 和 的矩阵分别为 ， 。求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵 和 对角化。2 一维运动粒子的状态是 其中 ，求（1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。（利用公式 ）3 设在 表象中， 的矩阵表示为 其中 ，试用微扰论求能级二级修正。（10分）4 在自旋态 中，求 。（10分）5 各是厄密算符。试证明， 也是厄密算符的条件是 对易。6 在动量表象中角动量 的矩阵元和 的矩阵元。7求自旋角动量在 方向的投影的本征值和所属的本征函数。8转动惯量为 ，电偶极矩为 的空间转子处在均匀电场 中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）（基态波函数 ，利用公式）9证明下列关系式：1 ， 2. 3. , 4. (其中 为角动量算符， ， 为泡利算符， 为动量算符)10 设 时，粒子的状态为 ，求此时粒子的平均动量和平均动能。11 为厄密算符， （ 为单位算符）， 。（1）求算符 的本征值；（2）在A表象下求算符 的矩阵表示。12 已知体系的哈密顿量 ，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。13一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， ， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。 14证明下列算符的对易关系。1 ；2. ( )3. 设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明： 15设有两个电子，自旋态分别， ，证明两个电子处于自旋单态（ ）及三重态（ ）的几率分别为： （20分）。16求自旋角动量在 方向的投影 的本征值和所属的本征函数（20分）。17由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 。试证明（1） 是厄密算符；（2）有 ；（3） 的本征值为0和1（20分）。18 设在 表象中， 的矩阵表示为 ，其中 ，试用微扰论求能级二级修正（14分）。19证明下列算符的对易关系（24分）： 1 2. ( )3. 设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明： 20一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有 两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？21求证在 的共同本征态下，角动量沿与z轴成 角的方向 的分量 的平均值为 。22证明如算符 有共同的本征函数完备集，则 对易。23求 及 的本征值和所属的本征函数。三 问答题1 电子在均匀电场 中运动，哈密顿量为 ，试判断 各量中哪些是守恒量，为什么？2 经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？3 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？4 什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？5 表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？6 乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？7 什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？8 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？9 什么是斯塔克效应？10 不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？11 量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？12 什么是定态？定态有什么性质？13 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？ 14 简述力学量与力学量算符的关系？ 15 轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？16 简述量子力学的五个基本假设。17 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 18 什么是光电效应？光电效应有什么规律？19 什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。20 简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。21 简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。22 能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？23 原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？习题21.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量的自由粒子，满足德布洛意关系：_2. 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_3. 计算1时，团簇（由60个原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长_4. 计算对易式和，其中为动量算符的分量，为坐标的函数.5. 如果算符满足关系式，求证 (1) (2) 6. 设波函数，求7. 求角动量能量算符的本证值和本征态8. 试求算符的本征函数9. 证明一维束缚定态方程的能量E是非简并的10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称11. 一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数12. 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的动量期望值和动能期望值13. 一维运动粒子的状态是 其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的动量期望值。14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值. 15.设粒子处于范围在的一维无限深势阱中状态用函数，求粒子能量的可能测量值及相应的几率16. 设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求 (1) 的平均值；(2)势能的平均值17. 质量为的一个粒子在边长为的立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：；试写出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；18. 氢原子处于态中，问 （1）是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由； （2）在中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少19. 在一维谐振子能量表象中写出坐标x和动量p的矩阵表示20. 在t=0时，自由粒子波函数为(1) 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；(2) 求出几率最大的动量值；(3) 求出发现粒子在区间中的几率；21. 设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值22. 一维无限深势阱中的粒子受到微扰 作用，试求基态能级的一级修正。23. 具有电荷为的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为。其波长较长，求： 原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。 讨论跃迁的选择定则。24. 电荷e的谐振子，在时处于基态，时处于弱电场之中(为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。25.质量为m的粒子处于位势 中。假设它又经受微扰，试求第一激发态能量的一级修正。26. 用试探波函数 ， 估计一维谐振子基态能量和波函数27.设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为，它在0表象中的表示为 ， A. 求的本征值和本征态； ， , B. 若时，粒子处于f1，它在表象中的表示为。试求出t 0时的粒子波函数；28. 一个电荷为的一维谐振子受到弱电场的作用，利用微扰理论求能量至二级修正值并与其精确结果比较28. 若是电子的自旋算符，求(1) =?(2) 29. 二个自旋的粒子组成的系统由等效哈密顿算符描述，其中是二个自旋，是他们的分量，为常数，求系统的所有能级30. 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？31.一量子体系的哈密顿算符在表象中 ， 其中常数， （1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似； （2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较南京大学1998年硕士研究生考试试题量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 在的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标和确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：，式中和均为常数，且，是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的能级（）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。（三）20分求在一维无限深势阱中，处于态时的粒子的动量分布几率 。（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：（1） ？式中和分别是和方向的单位矢量。（2） ？式中 ，（3）系统的哈密顿算符为 ，设是归一化的束缚态波函数，则有： ？（五）20分碱金属原子处在方向的外磁场B中，微扰哈密顿为 ，其中 ， ，当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？注： ； 南京大学1999年硕士研究生考试试题量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理 (20分) 一、 t0时，粒子的状态为，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。 二、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在的一段圆弧上运动：求解粒子的能量本征值和本征函数。(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少?(20分) 三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量 ，如微扰哈密顿，试求对能量的一级修正(式中为常数)。(15分) 四、 对自旋为12的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求ASy+BSz的本征函数和本征值(A和B是实常数)。(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是； 式中和都是已知实常数试求t=0和t0时粒子坐标和动量的平均值,，（表示力学量算符的平均值）。* 南京大学2000年硕士研究生入学考试试题量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等一. 一维谐振子处在状态, , 求:(1) 势能的平均值 (7分)(2) 动能的几率分布函数 (7分)(3) 动能的平均值 (7分)提示:二. 质量为m的粒子在一维势场 中运动,求,(1) 决定束缚态能级的方程式 (15分)(2) 至少存在一个束缚态的条件 (5分)三. 质量为m的粒子在一维势场 中运动,其中是小的实常数，试用微扰论求准到一次方的基态能量. (20分)四. 两个自旋的非全同粒子系的哈密顿量 求的能量本征值和相应的简并度. (20分)五(1) 设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级的分裂情况. (10分)(2) 如果沿z方向不仅有均匀静磁场,还有均匀静电场, 再用微扰论求n=2能级的分裂情况. (9分)提示: 南京大学2001年硕士研究生入学考试试题量子力学专业： 理论物理、凝聚态物理、光学等一、有一质量为的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中，在t=0时刻，粒子的状态由波函数描述。求： （20分）1. 归一化常数A;2. 粒子能量的平均值；3. t=0时刻，粒子能量的几率分布；4. 人艺t0时刻的波函数的级数表达式。提示：二、考虑势能为的一维系统，其中为正常数。若一能量为E的粒子从处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E的所有可能值。（20分）三、有一质量为的粒子，在一维谐振子势场中运动。在动能的非相对论极限下，基态能，基态波函数为。考虑T与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动至阶。（c为光速）（20分）四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）提示：电子质量，晶格常数五、考虑自旋的系统，1 求算符的本征值和归一化本征波函数；（A、B为实常数）2 若此时系统正处在的某一个本征态上，求此时测量结果为的几率。（20分）南京大学2002年硕士研究生入学考试试题量子力学一、 一维自由粒子的状态由波函数描述。求粒子的动量平均值和动能平均值。（20分）二、 粒子被约束在半径为r的圆周上运动1） 设立“路障”进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即，求解粒子的能量本征值和本征函数；2） 设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？（20分）提示：在柱坐标系下三、 设算符且，证明：如果是的本征函数，对应的本征值为，那么，波函数也是的本征函数，对应的本征值为，而波函数也是的本征函数，对应的本征值为。（20分）四、 一个粒子在二维无限深势阱中运动，设加上微扰 ，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）五、 若电子处于的本征态，试证在此态中，取值为或的几率各为。（20分）南京大学2003年硕士研究生入学考试试题量子力学专 业: 理论物理,凝聚态物理 一、一个质量为的粒子处于一维谐振子势中运动，为谐振子的本征振动频率。如果时，该粒子处于态，其中和分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，为待定常数且。1） 根据归一化条件，求待定常数；（5分）2） 求时刻粒子所处的状态；（5分）3） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；（10分）4） 求粒子能量的平均值；（5分）5） 若在时刻，粒子所处的势场突然变为，求粒子在时刻处于新的势场 的第一激发态的几率。（5分）二、一根长为的无质量的绳子一端固定，另一端系质点。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，1） 写出质点运动的哈密顿量；（10分）2） 在小角近似下求系统的能级；（10分）3） 求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。（10分）提示：质量为，本征频率为的一维谐振子的基态波函数为，其中是归一化常数，；。三、质量为的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为，高度为的一维势垒。设粒子的能量。试求发生共振透射（即透射系数为1）的条件。（30分）四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量描述，其中和分别是两个粒子的自旋，而和则分别是这两个粒子自旋的分量，和是实常数。求该哈密顿量的所有能级。（30分）五、一个质量为，带电荷为的粒子，束缚在宽度为的一维无限深势阱中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。（30分）六、两个粒子被束缚在一个边长为的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为可以作为微扰，其中和分别为两个粒子的坐标，A为实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A的一次方。1） 两个粒子为自旋为零的全同玻色子；（15分）2） 两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。（15分）南京大学2004年硕士研究生入学考试试题量子力学一、已知电子质量为，电子电量为(-e)，回答以下问题：1) 一个电子被限制在宽度为的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分）2) 五个电子被限制在宽度为的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。（10分）3) 一个电子处于一维谐振子势场中运动，其中是谐振子的本征园频率，x是电子的坐标，请写出该体系的能级公式。（5分）4) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）5) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分）6) 假定氢原子处于基态，求电子势能的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10分）二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：，其中仅是径向坐标r的函数。1）求角动量平方的可能测量值和相应的几率；（10分）2）求角动量的分量的可能测量值和平均值。（10分）三、代表电子的自旋算符，为从原点指向单位球面上方向上的单位向量，其中是纬度，是经度。1) 在表象下求自旋在方向上的投影的本征值和相应的本征波函数。（10分）2) 假定电子处于的某个本征态，那么测量会得到哪些数值，相应的几率是多少，测量的平均值又是多少？（10分）四、一个质量为m，无电荷但自旋为1/2，磁矩为的粒子在一维无限深势阱中运动，其中和是正常数，x是粒子的坐标，是粒子的自旋算符。现在考虑在的半空间中有一沿z方向的均匀磁场，其大小为B，而在的半空间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在Pauli表象下写出。）（30分）五、一个质量为m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势作用，其中C，为正常数，r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问C的值最小可以取多少？ （30分）六、一个质量为m的无自旋的粒子受到中心势的散射，其中是常数。已知方程有解，在低能极限下，求粒子能量为E时，s分波的散射截面及其角分布。（30分）南京大学2005年硕士研究生入学考试试题量子力学一、问答题1、试述量子态的叠加原理。（5分）讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？（5分）2、为什么波函数必定是复数？（5分）一维定态薛定谔方程的解是否也必定是复数？（5分）3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么：（1）、和，其中是实常数；（5分）（2）、和，其中是实函数。（5分） 4、为什么力学量算符应是线性厄米算符？（10分） 5、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？（10分）二、质量为的粒子在一维无穷深势阱中运动，其中是正实数，求解定态薛定谔方程。（20分）三、质量为的粒子在一维势场中运动，势能为： ，其中x0区为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。（20分）四、设质子是半径为R的薄球壳，其电荷e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正（积分公式列出后不必计算）。（20分）五、中子有内禀磁矩：，其中g=1.9，M为中子质量。当自旋在z方向向上极化的中子束，沿x轴作一维运动时，在x0区域存在恒定磁场，其方向沿z方向。若能量，求解中子的一维散射运动。（20分）六、求两个关在一维无穷深势阱（为正常数）中，并以接触势相互作用的全同中子系统的零级近似归一化波函数（考虑自旋态），并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。（20分）南京大学1998年硕士研究生考试试题量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 在的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标和确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：，式中和均为常数，且，是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的能级（）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。（三）20分求在一维无限深势阱中，处于态时的粒子的动量分布几率 。（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：（1） ？式中和分别是和方向的单位矢量。（2） ？式中 ，（3）系统的哈密顿算符为 ，设是归一化的束缚态波函数，则有： ？（五）20分碱金属原子处在方向的外磁场B中，微扰哈密顿为 ，其中 ， ，当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？注： ； 南京大学1999年硕士研究生考试试题量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理 (20分) 一、 t0时，粒子的状态为，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。 二、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在的一段圆弧上运动：求解粒子的能量本征值和本征函数。(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少?(20分) 三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量 ，如微扰哈密顿，试求对能量的一级修正(式中为常数)。(15分) 四、 对自旋为12的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求ASy+BSz的本征函数和本征值(A和B是实常数)。(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是； 式中和都是已知实常数试求t=0和t0时粒子坐标和动量的平均值,，（表示力学量算符的平均值）。* 南京大学2000年硕士研究生入学考试试题量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等五. 一维谐振子处在状态, , 求:(1) 势能的平均值 (7分)(2) 动能的几率分布函数 (7分)(3) 动能的平均值 (7分)提示:六. 质量为m的粒子在一维势场 中运动,求,(1) 决定束缚态能级的方程式 (15分)(2) 至少存在一个束缚态的条件 (5分)七. 质量为m的粒子在一维势场 中运动,其中是小的实常数，试用微扰论求准到一次方的基态能量. (20分)八. 两个自旋的非全同粒子系的哈密顿量 求的能量本征值和相应的简并度. (20分)五(1) 设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级的分裂情况. (10分)(2) 如果沿z方向不仅有均匀静磁场,还有均匀静电场, 再用微扰论求n=2能级的分裂情况. (9分)提示: 南京大学2001年硕士研究生入学考试试题量子力学专业： 理论物理、凝聚态物理、光学等一、有一质量为的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中，在t=0时刻，粒子的状态由波函数描述。求： （20分）5. 归一化常数A;6. 粒子能量的平均值；7. t=0时刻，粒子能量的几率分布；8. 人艺t0时刻的波函数的级数表达式。提示：二、考虑势能为的一维系统，其中为正常数。若一能量为E的粒子从处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E的所有可能值。（20分）三、有一质量为的粒子，在一维谐振子势场中运动。在动能的非相对论极限下，基态能，基态波函数为。考虑T与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动至阶。（c为光速）（20分）四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）提示：电子质量，晶格常数五、考虑自旋的系统，3 求算符的本征值和归一化本征波函数；（A、B为实常数）4 若此时系统正处在的某一个本征态上，求此时测量结果为的几率。（20分）南京大学2002年硕士研究生入学考试试题量子力学六、 一维自由粒子的状态由波函数描述。求粒子的动量平均值和动能平均值。（20分）七、 粒子被约束在半径为r的圆周上运动3） 设立“路障”进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即，求解粒子的能量本征值和本征函数；4） 设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？（20分）提示：在柱坐标系下八、 设算符且，证明：如果是的本征函数，对应的本征值为，那么，波函数也是的本征函数，对应的本征值为，而波函数也是的本征函数，对应的本征值为。（20分）九、 一个粒子在二维无限深势阱中运动，设加上微扰 ，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）十、 若电子处于的本征态，试证在此态中，取值为或的几率各为。（20分）南京大学2003年硕士研究生入学考试试题量子力学专 业: 理论物理,凝聚态物理 一、一个质量为的粒子处于一维谐振子势中运动，为谐振子的本征振动频率。如果时，该粒子处于态，其中和分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，为待定常数且。6） 根据归一化条件，求待定常数；（5分）7） 求时刻粒子所处的状态；（5分）8） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；（10分）9） 求粒子能量的平均值；（5分）10） 若在时刻，粒子所处的势场突然变为，求粒子在时刻处于新的势场 的第一激发态的几率。（5分）二、一根长为的无质量的绳子一端固定，另一端系质点。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，4） 写出质点运动的哈密顿量；（10分）5） 在小角近似下求系统的能级；（10分）6） 求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。（10分）提示：质量为，本征频率为的一维谐振子的基态波函数为，其中是归一化常数，；。三、质量为的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为，高度为的一维势垒。设粒子的能量。试求发生共振透射（即透射系数为1）的条件。（30分）四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量描述，其中和分别是两个粒子的自旋，而和则分别是这两个粒子自旋的分量，和是实常数。求该哈密顿量的所有能级。（30分）五、一个质量为，带电荷为的粒子，束缚在宽度为的一维无限深势阱中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。（30分）六、两个粒子被束缚在一个边长为的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为可以作为微扰，其中和分别为两个粒子的坐标，A为实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A的一次方。3） 两个粒子为自旋为零的全同玻色子；（15分）4） 两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。（15分）南京大学2004年硕士研究生入学考试试题量子力学一、已知电子质量为，电子电量为(-e)，回答以下问题：7) 一个电子被限制在宽度为的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分）8) 五个电子被限制在宽度为的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。（10分）9) 一个电子处于一维谐振子势场中运动，其中是谐振子的本征园频率，x是电子的坐标，请写出该体系的能级公式。（5分）10) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）11) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分）12) 假定氢原子处于基态，求电子势能的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10分）二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：，其中仅是径向坐标r的函数。1）求角动量平方的可能测量值和相应的几率；（10分）2）求角动量的分量的可能测量值和平均值。（10分）三、代表电子的自旋算符，为从原点指向单位球面上方向上的单位向量，其中是纬度，是经度。3) 在表象下求自旋在方向上的投影的本征值和相应的本征波函数。（10分）4) 假定电子处于的某个本征态，那么测量会得到哪些数值，相应的几率是多少，测量的平均值又是多少？（10分）四、一个质量为m，无电荷但自旋为1/2，磁矩为的粒子在一维无限深势阱中运动，其中和是正常数，x是粒子的坐标，是粒子的自旋算符。现在考虑在的半空间中有一沿z方向的均匀磁场，其大小为B，而在的半空间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在Pauli表象下写出。）（30分）五、一个质量为m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势作用，其中C，为正常数，r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问C的值最小可以取多少？ （30分）六、一个质量为m的无自旋的粒子受到中心势的散射，其中是常数。已知方程有解，在低能极限下，求粒子能量为E时，s分波的散射截面及其角分布。（30分）南京大学2005年硕士研究生入学考试试题量子力学一、问答题1、试述量子态的叠加原理。（5分）讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？（5分）2、为什么波函数必定是复数？（5分）一维定态薛定谔方程的解是否也必定是复数？（5分）3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么：（1）、和，其中是实常数；（5分）（2）、和，其中是实函数。（5分） 4、为什么力学量算符应是线性厄米算符？（10分） 5、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？（10分）二、质量为的粒子在一维无穷深势阱中运动，其中是正实数，求解定态薛定谔方程。（20分）三、质量为的粒子在一维势场中运动，势能为： ，其中x0区为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。（20分）四、设质子是半径为R的薄球壳，其电荷e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正（积分公式列出后不必计算）。（20分）五、中子有内禀磁矩：，其中g=1.9，M为中子质量。当自旋在z方向向上极化的中子束，沿x轴作一维运动时，在x0区域存在恒定磁场，其方向沿z方向。若能量，求解中子的一维散射运动。（20分）六、求两个关在一维无穷深势阱（为正常数）中，并以接触势相互作用的全同中子系统的零级近似归一化波函数（考虑自旋态），并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。（20分）北京科技大学20032004学年度第一学期可能会有用的公式：薛定谔方程：一维定态薛定谔方程：动量算符：高斯积分：一。30分一维无限深方势阱：质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：110分求解能量本征值和归一化的本征函数；2若已知时，该粒子状态为：，求时刻该粒子的波函数；3。5分求时刻测量到粒子的能量分别为和的几率是多少？4。10分求时刻粒子的平均能量和平均位置。解：1）2）时刻的波函数：3）5分 时刻测量到粒子的能量为的几率是：时刻测量到粒子的能量为的几率是：4）10分平均能量：平均位置：二。30分一维线性谐振子：质量为的粒子在一维线性谐振子势：中运动。按占有数表象，哈密顿可写为：。这里是湮灭算符，是产生算符：已知一维线性谐振子基态波函数为：1。10分利用产生算符性质：，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：；（）2。10分假设粒子处在基态，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？3。10分假设这时粒子波函数仍然保持不变（），此时测量粒子能量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？解：1）利用：，其中：2）新基态能：新基态波函数：3）测量粒子能量取新基态能的几率：三。40分两电子波函数：考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。1。15分假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：。求：和的本征值；2。15分假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，和的本征值；3。10分假设两电子系统哈密顿量为：，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。解：1）15分自旋三重态（spin triplet）空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称：对应总自旋平方本征值为： 对应总自旋第三分量本征值分别为：2）自旋单态空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：对