利用轴对称求最值.doc

利用轴对称求最短距离轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最短距离问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最短距离问题呢？根据本人多年教学工作的一些体会。概括一些常见的题型。一、基础知识BA如图直线l同侧有两点A、B，在直线l上找点P，使得PA+PB最短，并简要说明理由。解：作点关于直线l的对称点A，连AB交直线l于点P,则点P即为所求，此时PA+PB=PA+PB= AB。PLLL A1二、典型例题：A组（1）以菱形为载体的最短距离问题：如图所示，菱形ABCD中， BAD=60，AB=4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_。解：菱形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。点B关于直线AC的对称点为点D,连接DM交AC于点P,则PM+PB的最小值即为线段DM,此时DM=PM+PM的最小值为.DCPMBA（2）以矩形为载体求最短距离问题在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为为边CD中点。P为边BC上的任一点，求PA+EP的最小值。解：作点A关于BC的对称点A，连AE交BC于点P,则点P为所求，此时PA+PE的最小值即为AE,过点E，作EFAB，AE=5PA+PE的最小值为5。DAEFBPCA1（3）以正方形为载体的最短距离问题：如图所示，正方形ABCD的边长为2，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为_.解：正方形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。点B关于点D关于AC对称BE即为PD+PE的最小值PD+PE的最小值为2DAPEBC (4) 以圆形为载体的最短距离问题：如图，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB, ABC=60，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值。解：延长AO交O于点A1，则点A关于直线OA的对称点为A1，连A1C交OB于点P，则PA+PC的最小值为A1C，连AC，RTAA1C中，COS300= A1C=4=，PA+PC的最小值是BCAPOA1B组：以二次函数为载体的最短距离问题：已知：如图，抛物线y=x+2x-3与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C,对称轴上存在一点P,使得PBC的周长最小，请求出点P的坐标。解：点A、B关于对称轴对称y连AC与l交点即为所求。BAOxPCC组：拓展延伸（1） 如图，ABC中，BAC=40，D为AC边中点，AE平分BAC，且AE=AC,点F是AB边上的一动点，若AE=3，求FD+FE的最小值。解：作点E交于AC的对称点M，连DM，交AB于点F,则点F即为所求，此时，FD+FE的最小值为MD，易知1=2=3=20MAC=60，易证AM=AE，而AE=AC，AM=ACAMC为等边三角形，而D为AC中点MDACRtADM中，tan60=MD=2即FD+FE的最小值为2ADF M B CHE(2)在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在X轴、Y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。若E为边OA上的一个动点，当？CDE的周长最小时，求点E的坐标；若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。解：作点D关于X轴对称点D，连DC交X轴与点E,则点E即为所求D(1,0)解：EF=2，取CM=2作D关于X轴对称点D，连DM,交X轴于点E,M(1,4) D(0，-2)则DM的解析式yY=kx+b BC 4=k+bb=-2DDM的解析式为y=bx-2OEAx令y=0 x=D1E(，0)MyF(，0)BCDFEOAxD1(3)（2010南通）已知抛物线Y=aX+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点，当X=3,和X=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等。经过C(0，-2)的直线l与x轴平行，O为坐标原点。(1) 求直线AB和这这点抛物线的解析式；(2) 以A为圆心，AO为半径的圆记为A,判断直线L与A的位置关系，并说明理由；(3) 设直线AB上点D,的横坐标为-1，P（M,N）是抛物线Y=ax+bx+c上的动点当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积。综上所诉，笔者认为：利用轴对称知识解决最小值问题，只要在复杂的图形找到基本图形A点关于直线L的对称点A，连AAB，就能解决关于轴对称图形求最小值问题。解：（1）设直线AB的解析式为ypxq则 解得直线AB的解析式为yx12分当x3和x3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等抛物线的对称轴为y轴，b0，yax 2c把A（4，3）、B（2，0）代入，得： 解得抛物线的解析式为yx 214分（2）A（4，3），AO5，即A的半径为5经过点C（0，2）的直线l与x轴平行直线l的解析式为y2，点A到直线l的距离为5直线l与A相切8分（3）把x1代入yx1，得y，D（1，）过点P作PH直线l于H，则PHn2，即m 21又POm 21PHPO10分DO的长度为定值，当PDPO即PDPH最小时，PDO的周长