2018-2019学年高中数学_第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面课件 新人教a版必修2

第二章点 直线 平面之间的位置关系 本章概览一 地位作用在本章学生通过对实际模型的认识 学会将自然语言转化为图形语言和符号语言 以具体的几何体的点 线 面关系作为载体 使学生在直观感知的基础上 认识空间中一般的点 线 面之间的位置关系 通过对图形的观察 试验和说理 使学生进一步了解平行 垂直关系的基本性质以及判定方法 学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系 并能解决一些简单的推理论证及应用问题 在历年高考中突出了对逻辑思维及空间想象能力的考查 二 内容标准点 线 面之间的位置关系 借助长方体模型 在直观认识和理解空间点 线 面的位置关系的基础上 抽象出空间线 面位置关系的定义 并了解如下可以作为推理依据的公理和定理 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行 定理 空间中如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 以立体几何的上述定义 公理和定理为出发点 通过直观感知 操作确认 思辨论证 认识和理解空间中线面平行 垂直的有关性质与判定 通过直观感知 操作确认 归纳出以下判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直 则该直线与此平面垂直 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 通过直观感知 操作确认 归纳出以下性质定理 并加以证明 一条直线与一个平面平行 则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行 两个平面平行 则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 三 核心素养通过本章学习 学生建立了形与数的联系 能够利用几何图形描述问题 借助几何图形直观理解问题 运用空间想象认识事物 帮助学生能提升数形结合的能力 发展几何直观和空间想象能力 增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识 提升数形结合的能力 形成数学直观直觉 在具体的情境中感悟事物的本质 有助于达成和提高直观想象核心素养 同时训练学生能提出和论证数学命题 掌握逻辑推理的基本形式 学会有逻辑地思考问题 发现和提出数学命题 探索和表述论证过程 形成重论据 有条理 合乎逻辑的思维品质和理性精神 增强交流能力 提高了学生的逻辑推理数学核心素养的水平 2 1空间点 直线 平面之间的位置关系2 1 1平面 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 点击进入情境导学 知识探究 1 平面 1 平面的概念几何里所说的 平面 是从课桌面 黑板面 海面这样的一些物体中抽象出来的 几何里的平面是的 无限延展 2 平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形 用平行四边形表示平面 平行四边形的锐角通常画成 且横边长等于其邻边长的 如图 1 如果一个平面被另一个平面遮挡住 为了增强它的立体感 把被遮挡部分用画出来 如图 2 45 2倍 虚线 3 平面的表示图 1 的平面可表示为平面ABCD 平面AC 平面BD或平面 注意 平面 二字不能省略 2 点 直线 平面之间的位置关系及语言表达 A l A l A A l l l 3 平面的基本性质 两点 不在一条直线上 过该点 一个 探究 把下列符号语言表示的图形画出来 l A l B D 且BD l 自我检测 1 平面的概念 下列说法 书桌面是平面 8个平面重叠后 要比6个平面重叠后厚 有一个平面的长是100m 宽是90m 平面是绝对平滑 无厚度 无限延展的抽象概念 其中正确的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 B 2 公理2 三条直线两两相交 可以确定平面的个数是 A 1个 B 1个或2个 C 1个或3个 D 3个 C 3 符号表示 如图所示 用符号语言可表达为 A m n m n A B m n m n A C m n A m A n D m n A m A n A 4 公理1 若A 平面 B 平面 C 直线AB 则 A C B C C AB D AB C A 5 点 线 面的位置关系 如果直线a 平面 直线b 平面 M a N b M l N l 则 A l B l C l M D l N 解析 因为M l N l 且M N 所以l A 6 公理3 如图 已知D E是 ABC的边AC BC上的点 平面 经过D E两点 若直线AB与平面 的交点是P 则点P与直线DE的位置关系是 答案 点P在直线DE上 题型一 文字语言 图形语言 符号语言的转换 例1 完成下列各题 1 将下列文字语言转换为符号语言 点A在平面 内 但不在平面 内 直线a经过平面 外一点M 直线l在平面 内 又在平面 内 即平面 和平面 相交于直线l 课堂探究 素养提升 解 1 A A M a M l 2 将下列符号语言转换为图形语言 a b A A a c a b a c b c P 方法技巧实现三种语言转换要注意 1 用文字语言 符号语言表示一个图形时 首先仔细观察图形有几个平面 几条直线且相互之间的位置关系如何 试着用文字语言表示 再用符号语言表示 2 符号语言的意义 如点与直线的位置关系只能用 或 直线与平面的位置关系只能用 或 3 由符号语言或文字语言画相应的图形时 要注意把被遮挡的部分画成虚线 即时训练1 1 1 A B C表示不同的点 n l表示不同的直线 表示不同的平面 下列推理表述不正确的是 A A l A B l B l B A A B B 直线AB C A B C A B C 且A B C不共线 与 重合 D l n l n A l与n确定唯一平面 解 1 选D 2 2017 沙市调研 图中点 直线 平面之间的关系用集合语言可表示为 A m n m n A B m n m n A C m n A m A n D m n A m A n 解 2 由题图知 A为点 n为线 所以n 的表示不正确 故排除B D 而A m A n的表示也不正确 故排除C 故选A 备用例1 根据下列符号表示的语句 说明点 线 面之间的位置关系 并画出相应的图形 1 A B 2 l m A A l 3 P l P Q l Q 解 1 点A在平面 内 点B不在平面 内 2 直线l在平面 内 直线m与平面 相交于点A 且点A不在直线l上 3 直线l经过平面 外一点P和平面 内一点Q 图形分别如图 1 2 3 所示 题型二 点线共面 思考 过直线与直线外一点能否唯一确定一平面 两条相交直线能否唯一确定一平面 两条平行直线呢 提示 由公理2 易证明上述三个问题中 均能唯一确定一平面 例2 如图 l1 l2 A l2 l3 B l1 l3 C 求证直线l1 l2 l3在同一平面内 证明 法一 纳入法 因为l1 l2 A 所以l1和l2在同一平面 内 因为l2 l3 B 所以B l2 又因为l2 所以B 同理可证C 又因为B l3 C l3 所以l3 所以直线l1 l2 l3在同一平面内 证明 法一 纳入法 因为l1 l2 A 所以l1和l2在同一平面 内 因为l2 l3 B 所以B l2 又因为l2 所以B 同理可证C 又因为B l3 C l3 所以l3 所以直线l1 l2 l3在同一平面内 方法技巧证明点线共面问题的理论依据是公理2 常用方法有 1 纳入法 先由部分直线确定一个平面 再证明其他直线在这个平面内 2 重合法 先说明一些直线在一个平面内 另一些直线在另一个平面内 再证明两个平面重合 即时训练2 1 如图 已知直线AB和AC都在平面 内 直线BC与直线AB AC分别相交于B C两点 试判断直线BC与平面 的位置关系 解 因为AB BC B 所以B AB 即B 同理 AC BC C 所以C AC 即C 即直线BC上有两点B C在平面 内 由基本性质1 得直线BC 平面 备用例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 判断下列说法是否正确 并说明理由 1 直线AC1在平面CC1B1B内 2 设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O O1 则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1 3 由A C1 B1确定的平面是ADC1B1 4 由A C1 B1确定的平面与由A C1 D确定的平面是同一个平面 题型三 多点共线 多线共点问题 例3 12分 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为AB的中点 F为AA1的中点 求证 CE D1F DA三线交于一点 变式探究 若将题目条件中的 E F分别为AB AA1的中点 改成E F分别为AB AA1上的点 且D1F CE M 求证 M AD 证明 因为D1F CE M 且D1F 平面A1D1DA 所以M 平面A1D1DA 同理M 平面BCDA 从而M在两个平面的交线上 因为平面A1D1DA 平面BCDA AD 所以M AD成立 方法技巧 1 证明三线共点常用的方法 先证明两条直线相交于一点 然后证明这个点在两个平面内 第三条线是这两个平面的交线 于是该点在第三条直线上 从而得到三线共点 也可以先证明a b相交于一点A b与c相交于一点B 再证明A B是同一点 从而得到a b c三线共点 2 类比线共点的证明方法 可得到三点共线的证明方法 首先找出两个平面的交线 然后证明这三点都是这两个平面的公共点 根据公理3 可推知这些点都在交线上 即三点共线 选择其中两点确定一条直线 然后证明第三个点也在这条直线上 即时训练3 1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点M N E F分别是棱CD AB DD1 AA1上的点 若MN与EF交于点Q 求证 D A Q三点共线 证明 因为MN EF Q 所以Q 直线MN Q 直线EF 又因为M 直线CD N 直线AB CD 平面ABCD AB 平面ABCD 所以M N 平面ABCD 所以MN 平面ABCD 所以Q 平面ABCD 同理 可得EF 平面ADD1A1 所以Q 平面ADD1A1 又因为平面ABCD 平面ADD1A1 AD 所以Q 直线AD 即D A Q三点共线 题型四 易错辨析 平面的基本性质应用错误 例4 已知直线l与三条平行直线a b c都相交 求证四条直线l a b c共面 错解 因为l与a相交 所以l与a共面 同理l与b共面 l与c共面 故l与a b c共面 纠错 本题错误的原因是 若l与a共面于 l与b共面于 但