2018-2019学年高中数学_第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的定义与判定课件 新人教a版必修1

1 3 2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 情境导学 导入函数 f x x2 1 f x f x 2x的图象分别如图所示 想一想1 1 导入中三个函数的定义域分别是什么 它们有什么共同特点 R 0 0 R 关于原点对称 2 对于导入中的三个函数计算f x 观察对定义域内每个x f x 与f x 有怎样的关系 f x x2 1 f x f x f x f x f x f x 2x f x f x 想一想2 导入中的三个函数的图象具有怎样的对称性 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 知识探究 奇函数 偶函数的定义 1 偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 2 奇函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 探究1 若函数具有奇偶性 则它的定义域有何特点 答案 定义域关于原点对称 任意 f x f x 任意 f x f x 探究2 若函数y f x 是奇函数 且点 a f a 是y f x 图象上一点 点 a f a 是否在函数图象上 答案 由f a f a 知点 a f a 一定在函数y f x 图象上 拓展延伸 判断函数奇偶性的方法 1 判断函数的奇偶性 一般有以下几种方法 定义法 若函数的定义域不关于原点对称 则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数 若函数的定义域关于原点对称 再判断f x 是否等于 f x 或判断f x f x 是否等于零 或判断 f x 0 是否等于 1 图象法 通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性 性质法 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 奇 偶 数个奇函数的积为奇 偶 函数 两个奇函数的商 分母不为零 为偶函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 对于复合函数F x f g x 若g x 为偶函数 f x 为偶函数 则F x 为偶函数 若g x 为奇函数 f x 为奇函数 则F x 为奇函数 若g x 为偶函数 f x 为奇函数 则F x 为偶函数 若g x 为奇函数 f x 为偶函数 则F x 为偶函数 注意 利用上述结论时要注意各函数的定义域必须关于原点对称 2 用定义判断函数奇偶性的步骤 定义域 关于原点对称 验证f x f x 或f x f x 下结论 3 判断分段函数奇偶性的步骤 先看分段函数的定义域 各段自变量范围的并集 是否关于原点对称 根据奇偶性定义 要判断f x 与f x 的关系 需求出f x 因此要判断 x的取值范围 所以要根据x 0与x0时 f x 要用 x0的解析式 奇函数的定义要求是对定义域内的任意x都有f x f x 此处对x分x 0与x 0已讨论完毕 自我检测 1 偶函数定义 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 3a 上的偶函数 那么a b的值是 C 2 奇函数定义 已知f x x3 2x 则f a f a 的值是 A 0 B 1 C 1 D 2 A 3 偶函数定义 f x 为定义在R上的偶函数 若f 2 3 则f 2 等于 A 3 B 2 C 3 D 2 C 4 判断奇偶性 若函数f x 则f x 为 A 偶函数 B 奇函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数又不是偶函数 5 由奇偶性求参数 若函数f x k是奇函数 则k等于 B 答案 0 题型一 函数奇偶性的判定 课堂探究 素养提升 规范解答 1 函数的定义域为R 关于原点对称 1分又f x x 3 x x3 x f x 2分因此函数f x 是奇函数 3分 例1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x 规范解答 2 由得x2 1 即x 1 因此函数的定义域为 1 1 关于原点对称 4分又f 1 f 1 f 1 0 所以f x 既是奇函数又是偶函数 6分 3 函数f x 的定义域是 1 1 7分不关于原点对称 所以f x 既不是奇函数也不是偶函数 9分 方法技巧判断函数奇偶性的方法 1 函数图象法 2 定义法 求函数f x 的定义域 判断函数f x 的定义域是否关于原点对称 若不关于原点对称 则该函数既不是奇函数 也不是偶函数 若关于原点对称 则进行下一步 结合函数f x 的定义域 化简函数f x 的解析式 求f x 根据f x 与f x 之间的关系 判断函数f x 的奇偶性 奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 其中既奇又偶函数的表达式是f x 0 x A A是关于原点对称的非空数集 解 1 因为对于任意的x R 都有f x x 4 1 x4 1 f x 所以函数f x x4 1是偶函数 解 3 函数f x 2 x 的定义域是R 因为对于任意的x R 都有f x 2 x 2 x f x 所以函数f x 2 x 是偶函数 4 函数f x x 1 2的定义域是R 因为f x x 1 2 x 1 2 f x 且f x f x 所以函数f x 是非奇非偶函数 3 f x 2 x 4 f x x 1 2 题型二 函数奇偶性的图象特征 例2 已知奇函数f x 的定义域为 5 5 且在区间 0 5 上的图象如图所示 1 画出在区间 5 0 上的图象 2 写出使f x 0的x的取值集合 解 2 由图象知 使函数值y 0的x的取值集合为 2 0 2 5 方法技巧 1 奇函数与偶函数的图象的特点 偶函数的图象关于y轴对称 反之 若f x 的图象关于y轴对称 则f x 为偶函数 奇函数的图象关于原点对称 反之 若f x 的图象关于原点对称 则f x 为奇函数 2 根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域 定义域 不等式问题时 应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象 根据图象特征求解问题 即时训练2 1 如果奇函数f x 在区间 3 7 上是增函数且最小值是5 则f x 在 7 3 上是 A 增函数 最小值为 5 B 增函数 最大值是 5 C 减函数 最小值为 5 D 减函数 最大值是 5 解析 由奇函数的图象关于原点对称 如图 可知 f x 在 7 3 上单调递增 且f x max f 3 f 3 5 故选B 备用例2 2018 永州高一期中 已知f x 1 是偶函数 且f x 在 1 上单调递减 若f 2 0 则f x 0的解集为 A 1 1 B 0 1 C 1 2 D 0 2 解析 因为f x 1 在R上是偶函数 所以f x 1 f x 1 则函数f x 关于直线x 1对称 因为f x 在 1 上单调递减 且f 2 0 所以f x 在 1 上单调递增 f 0 0 画出函数的示意图 由图得 f x 0的解集是 0 2 故选D 题型三 利用函数奇偶性求参数 例3 1 设函数f x 为奇函数 则a 答案 1 1 2 已知函数f x 是奇函数 则a 解析 2 特值法 由f x 为奇函数 得f 1 f 1 即a 1 2 1 12 1 整理得a 1 0 解得a 1 答案 2 1 变式探究 是否存在实数a使函数f x 为偶函数 说明理由 误区警示由函数的奇偶性求参数应注意两点 1 函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法 也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质 要注意函数奇偶性定义的正用和逆用 2 利用常见函数如一次函数 反比例函数 二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数 备用例3 已知函数f x mx2 nx 3m n是偶函数 且其定义域为 m 1 2m 1 求m n的值 解 1 因为函数f x mx2 nx 3m n是偶函数 所以函数的定义域关于原点对称 又因为函数f x 的定义域为 m 1 2m 所以m 1 2m 0 解得m 又因为函数f x 是偶函数 所以f x mx2 nx 3m n f x mx2 n