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三 反证法与放缩法 新会禾雀花 1 例1 已知 x y 0 且x y 2 试证明 中至少有一个小于2 分析 于是考虑采用反证法 1 从下面证明这个结论 要分三种情况 2 结论的反面只有一种情况 证明 因为x 0 y 0 所以1 x 2y 1 y 2x 把这两个不等式相加 得2 x y 2x 2y 2 x y 即x y 2 这与已知x y 2相矛盾 即原命题成立 1 例1 已知 x y 0 且x y 2 试证明 中至少有一个小于2 2 例2 已知a b c为实数 a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 于是考虑采用反证法 假设a b c不全是正数 这时需要逐个讨论a b c不是正数的情形 由于已知条件有一个特点 任意交换a b c的位置不改变命题的条件 所以我们只要讨论其中一个数 其他两个数与这种情形类似 分析 证明 假设a b c不全是正数 即其中至少有一 个不是正数 不妨设a 0 分两种情况讨论 如果a 0 则abc 0 这与已知abc 0矛盾 所以a 0是不可能的 如果a0得bc 0 因为a b c 0 所以b c a b c 0 a b c 0 a b c bc 0 这与已知ab bc ca 0相矛盾 所以 a 0也不可能 综上所述 a 0 同理可证 b 0 c 0 所以原命题成立 例2 已知a b c为实数 a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 所以ab bc ca 0 已知a b d R 求证 若把中间代数式通分相加 则运算非常复杂 难度太大 分析 3 例3 分析此式的形式特点 可以通过适当放缩 使不等式简化 从而得证 缩小法 放大法 证明 因为a b c d R 所以 已知a b c d R 求证 3 例3 所以 把以上四个不等式相加 得 已知a b是实数 把不等式右边缩小得 4 例4 求证 分析 把不等式左边放大得 0 a b a b 只要把分式化成仅有一个绝对值表达式 就容易放缩了 因为0 a b a b 所
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