亚洲物理竞赛试题4.pdf

1 理论题理论题4 滚动圆柱体 滚动圆柱体 第10届亚洲物理竞赛试题 有一质量为 M 的薄空心圆筒 其内表面为粗糙表面 圆筒内表面的半径为 R 圆筒可以绕其沿水平方 向的中轴 OZ 转动 圆筒的中轴是固定的 Z 轴的方向垂直于纸面向外 在圆筒内部 另有一个质量为 m 半径为 r 的较小的实心圆柱体 较小的实心圆柱体可以绕其自身的中轴在薄空心圆筒 M 的内表面无滑动地 滚动 最后一问即问题 1 8 中除外 实心圆柱体的中轴与 OZ 轴平行 1 1 在 t 0 的时刻 圆筒 M 由静止状态开始转动 而此时圆柱体 m 处于最低位置 经过时间 t 后圆柱 体 m 的质心到达角位置 而在同一段时间内圆筒 M 转动了 弧度 试求在此段时间内相对一固定直线 例如 y 轴负方向 圆柱体 m 绕其自身的中轴转动的角度 用弧度表示 结果用 R 和 r 表 达 1 2 试求圆柱体m绕其自身的中轴转动的角加速度 d2 dt2 结 果用R r及 和 对时间的某阶导数表达 1 3 导出关于圆柱体m质心的角加速度 d2 dt2 的方程 方程用 m g R r d2 dt2 和ICM表述 其中ICM是圆柱体m相对其自 身中轴的转动惯量 1 4 试求在圆筒 M 以恒定的角速度转动的情况下 圆柱体 m 作小振幅振动的周期 结果只能用 R r 和 g 表达 1 5 试求问题 1 4 中圆柱体 m 平衡位置所对应的 角 1 6 试求在圆筒 M 以恒定的角加速度 转动的情况下 圆柱体 m 的平衡位置 结果用 R g 和 表达 1 7 现在假设圆筒 M 可以不受约束地绕其中轴 OZ 自由转动或往复振动 而圆柱体 m 作小振幅振动 在振动的过程中 圆柱体 m 相对圆筒 M 的内表面的运动为纯滚动 试求圆柱体 m 的振动周期 1 8 考虑以下情形 开始时圆筒 M 以固定的角速度 转动 圆柱体 m 在问题 1 5 中所确定的平衡位置 处 绕其自身的中轴转动 滚动 此时圆柱体 m 质心的位置保持不变 然后圆筒 M 突然停止转动 假 设圆柱体 m 与圆筒 M 内表面之间有足够大的摩擦系数 使得圆柱体 m 在圆筒 M 停止转动之后 经过一个 短暂的非纯滚动过程 然后开始在圆筒 M 内表面用纯滚动 要使圆柱体 m 能滚到圆筒 M 内表面最高处 则角速度 的最小取值应为多少 解析解析 1 1 如图 a 所示 当圆筒 M 绕通过 O 点的水平中心轴 OZ 垂直于纸面 沿逆时针方向转动时 紧贴在圆筒内壁上的小圆 柱 m 也同样沿着逆时针方向做纯滚动 起始在 t 0 时 固定在圆筒 内壁上的 P 点位于 O 点的正下方 在时刻为 t 时 OP 线段随着圆筒 M 转动了 角 相对于固定的参考线 负 Y 轴 在此期间 圆柱 体 m 的质心 C 转到角度为 的位置 即 OC 线段沿着逆时针方向转 动了 角 又该圆柱体相对于圆筒的内壁转过的角度为 R r 因 此相对于固定的参考线 负 Y 轴 圆柱体转动的总角度为 R r R r R r r 1 2 利用 式 可得小圆柱体绕通过其质心的水平轴的转动角加速 度为 d2 dt2 R r d2 dt2 R r r d 2 dt2 1 3 如图 b 所示 小圆柱体 m 的受力情形 相对于 O 点所在的惯 重力加 速度 2 性参考系 可得其质心的平动运动方程式为 m R r d 2 dt2 f mgsin m R r d dt 2 mgcos N 小圆柱体绕其质心的转动方程式为 ICMd 2 dt2 rf 式中 ICM 1 2mr 2 将 式代入 式 可得 ICM R r d2 dt2 R r r d 2 dt2 rf 利用 式 式可写为 ICM R r d2 dt2 R r r d 2 dt2 r m R r d2 dt2 mgsin 即 m ICM r2 R r d 2 dt2 mgsin ICMR r2 d 2 dt2 1 4 若圆筒 M 以固定不变的角速度转动 且小圆柱体 m 做小幅度的振动 则d 2 dt2 0 sin 式可近 似为 m ICM r2 R r d 2 dt2 mg 代入 ICM 1 2mr 2 可得 d2 dt2 2g 3 R r 0 上式为标准的简谐运动方程式 故小圆柱体做小幅度振动的周期为 T 2 3 R r 2g 1 5 利用 式 可知当小圆柱体处于平衡时 d 2 dt2 0 其角位置为 eq 0 1 6 若圆筒 M 以等角加速度 转动 则 式可写为 3 2 R r d2 dt2 gsin 1 2R 当小圆柱体处于平衡时 d 2 dt2 0 其角位置为 gsin 1 2R 0 即 eq sin 1 R 2g 1 7 利用转动方程式 dL dt Idw dt 参考如图 a b 考虑小圆柱体 m 圆筒 M 以及整个系统 小圆柱体和圆筒 的角动量和所受的力矩 两向量的符号规则规定如下 向外垂直于纸面者 即沿逆时针转动 取正号 向内垂直于纸面者 即沿顺 时针转动 取负号 就小圆柱体而言 相对于其质心参考系 小圆柱体仅受到摩擦力的力矩作用 其方向为正 故其转动 方程式为 3 1 2mr 2d 2 dt2 rf 就圆筒而言 相对于其质心参考系 圆筒也仅受到摩擦力的力矩作用 但其方向为负 故其转动方程 式为 MR2d 2 dt2 Rf 就整个系统而言 相对于 O 点所在的惯性参考系 该系统仅受到重力 mg 所产生的力矩作用 其方向 为负 该系统的总角动量为圆筒和小圆柱体角动量的向量和 故其转动方程式为 d dt L 圆筒 L圆柱体质心 L圆柱体自转 即 d dt MR 2d dt m R r 2d dt 1 2mr 2d dt mg R r sin 由 和 两式中消去 f 并代入 式 可得 d2 dt2 mr 2MR d2 dt2 mr 2MR R r d2 dt2 R r r d 2 dt2 即 d2 dt2 m R r 2M m R d2 dt2 将 式代入 式 可得 MR2d 2 dt2 m R r 2d 2 dt2 1 2mr 2 R r d2 dt2 R r r d 2 dt2 mg R r sin 即 MR 1 2mr R d2 dt2 m R r R 3 2r d2 dt2 mg R r sin 将 式代入 式可得 MR 1 2mr R m R r 2M m R d2 dt2 m R r R 3 2r d2 dt2 mg R r sin 即 d2 dt2 g R r 2M m 3M m sin 若圆柱体做小幅度的振动 则 sin 上式可写为 d2 dt2 g R r 2M m 3M m 0 上式为标准的简谐运动方程式 其振动周期为 T 2 R r g 3M m 2M m 21 1 8 当圆筒 M 以固定的角速度 稳定地转动时 则d 2 dt2 0 故 式变为 m ICM r2 R r d 2 dt2 mgsin 代入 ICM 1 2mr 2 上式可写为 3 2 R r d2 dt2 gsin 上式表示当 0 时 d 2 dt2 0 即小圆柱体处于平衡位置 若小圆柱体没有振动 它将停留在 0 的位 置上 在此位置上 式变为 R r 4 即 d dt R r d dt R r 上式表示在圆筒急停前的时刻 小圆柱体以固定的角速度稳定地转动 在圆柱急停后的短暂时间内 圆柱体受到摩擦力的作用而加速 题设小圆柱体与圆筒之间的摩擦 系数很大 在圆筒停止之后 能够在很短时间内 使小圆柱体由滑 动变成纯滚动 为简化计算起见 下图将圆筒的底面视为平面 小 圆柱体受摩擦力的作用向左滑动 小圆柱体的质心的平动方程式为 mdv dt fm 相对于小圆柱体的质心 圆柱体的转动方程式为 1 2mr 2 dw dt rfm 上两式中消去 fm 可得 dv dt 1 2r dw dt 取小圆柱体滑动的起始条件为 v 0 0 和 w 0 R r 并取该圆柱体达到纯滚动的时刻为 v rw 将上式积分得 v v 0 1 2r w w 0 即 v 1 3R w R 3r 当小圆柱体向上滚到圆筒内壁的最高点时 设其速度和角速度分别为 v 和 w 并取通过圆筒中心 O 点 的水平面为重力势能为参考零点 由于在小圆柱体沿圆筒内壁的纯滚动过程中 摩擦力不作功 故小圆柱 体的机械能守恒 即 1 2mv 2 1 2Icmw 2 mg R r 1 2mv 2 1 2Icmw 2 mg R r 将上面的结果代入并应用纯滚动的条件 v rw 可得 1 2mv 2 1 2 1 2mr 2 w 2 mg R r 1 2m 1 3R 2 1 2 1 2mr 2 R 3r 2 mg R r 即 v 2 1 9R 2 2 8 3