近世代数习题解答(张禾瑞)三章.doc

近世代数习题解答第三章 环与域1 加群、环的定义1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的.证 ()若S是一个子群则是S的零元,即对的零元,即 ()若 今证是子群由对加法是闭的,适合结合律,由,而且得再证另一个充要条件:若是子群,反之 故2. ,加法和乘法由以下两个表给定:+0 a b c 0 a b c00 a b c00 0 0 0aa 0 c ba0 0 0 0bb c 0 ab0 a b ccc b a 0c0 a b c 证明,作成一个环证 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由习题6,和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律事实上. 当或,的两端显然均为. 当或x=c,的两端显然均为. 这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律.两个分配律都成立 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样,只看或以及或就可以了.至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看或 (可省略的情形)的情形,此时两端均为剩下的情形就只有R作成一个环.2 交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 在交换环中成立.证 用数学归纳法证明.当时,显然成立.假定时是成立的:看 的情形 (因为)即二项式定理在交换环中成立.2. 假定一个环对于加法来说作成一个循环群,证明是交换环.证 设是生成元则的元可以写成 (整数) 3 证明,对于有单位元的环来说,加法适合交换律是环定义里其他条件的结果 (利用)证 单位元是, 是环的任意二元, 4 找一个我们还没有提到过的有零因子的环.证 令是阶为的循环加群规定乘法:而则显然为环. 阶为2 有 而 但 即为零因子或者为矩阵环.5 证明由所有实数 (整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说是一个整环.证 令整数() 是加群适合结合律,交换律自不待言.零元 的负元()乘法适合结合律,交换律，并满足分配律.()单位元 () R没有零因子，任二实数或 3 除、环、域1. 所有复数 是有理数证明 对于普通加法和乘法来说是一个域.证 和上节习题5同样方法可证得F是一个整环.并且 ()有 () 即 中至少一个 因而有, 使 故为域 2. 所有实数 是有理数 证明 对于普通加法和乘法来说是一个域. 证 只证明 有逆元存在.则中至少有一个 , 我们说 不然的话, 若 则 矛盾) 但 不是有理数 既然 则 的逆为4. 证明 例3的乘法适合结合律.证 又 , 5. 验证,四元数除环的任意元 ,这里是实数,可以写成 的形式. 证 4 无零因子环的特征1. 假定是一个有四个元的域,证明.()的特征是2;()的 或1的两个元都适合方程 证 () 设的特征为则的(加)群的非零元的阶所 (是群的阶)但要求是素数, () 设 由于,所以加法必然是 ,而 故有0 1 a b00 1 a b11 0 b aAa b 0 1Bb a 1 0 又 构成乘群,所以乘法必然是 (否则 )故有 .1 a b 11 a b aa b 1 bb a 1这样, 显然适合 2. 假定 是模 的一个剩余类.证明,若 同 互素,那么所有的书都同 互素(这时我们说同 互素).证 设 且则由于 故有 ,且有 因为 所以3. 证明, 所有同 互素的模 的剩余类对于剩余类的乘法来说作成一个群(同 互素的剩余类的个数普通用符号 来表示,并且把它叫做由拉函数)证而 同 互素显然非空,因为 ()则又有()显然适合结合律.()因为有限,所以的阶有限.若即由此可得即有另一个消去律同样可证成立.作成一个群 4. 证明,若是, 那么(费马定理)证 则而 的阶是的阶 的一个因子因此即5 子环、环的同态1. 证明,一个环的中心是一个交换子环.证 设是环的中心.显然 ，是环的任意元是子环,至于是交换环那是明显的.2. 证明, 一个除环的中心是个域.证 设!是除环！是中心由上题知是的交换子环显然,即包含非零元,同时这个非零元是的单位元. 即 !是一个域3. 证明, 有理数域是所有复数是有理数）作成的域的唯一的真子域. 证 有理数域是的真子域.设!是的一个子域,则(因为是最小数域) 若 而则这就是说,是的唯一真子域.4. 证明, 有且只有两自同构映射.证 有理数显然变为其自己.假定则由或 这就证明完毕.当然还可以详细一些:确是的两个自同构映射.现在证明只有这两个.若(有理数变为其自己) 则由 若 是有理数,在就出现矛盾,所以有 因而 在就是说, 只能 或i5. 表示模3的剩余类所作成的集合.找出加群的所有自同构映射,这找出域!的所有自同构映射.证 1）对加群的自同构映射自同构映射必须保持!故有 2）对域的自同构映射.自同构映射必须保持，所有只有6. 令是四元数除环, 是子集一切这里阿是实数,显然与实数域同构.令是把中换成后所得集合;替规定代数运算.使,分别用表示的元 ,那么的元可以写成是实数）的形式(参看 习题). 验证.，证 1）对来说显然 2）一切 实数 一切（ 实数 一切 复数对是不属于的的元. 一切规定 由于与的补足集合没有共同元,容易验证是与间的一一映射.规定的两个唤的和等于它们的逆象的和的象.的两个元的积等于它们的逆象的积的象.首先,这样规定法则确是的两个代数运算.其次,对于这两个代数运算以及的两个代数运算来说在之下 （3）由习题5知 这里 实数这是因为令（4） 同样6 多项式环 1. 证明, 假定是一个整环,那么上的一个多项式环也是一个整环. 证 !是交换环交换环, 有单位元是的单位元, 没有零因子没有零因子事实上， 则因为没有零因子,所以因而这样是整环2 假定是模7的剩余类环,在里把乘积 计算出来解 原式=3. 证明:() () 若是上的无关未定元,那么每一个都是上的未定元.证 （）一切 一切由于因而（）设即 因为是上的无关未定元,所以即是上的未定元 4. 证明: () 若是和上的两组无关未定元,那么() !上的一元多项式环能与它的一个真子环同构.证 ()根据本节定理3 容易验证这样 （）令一切显然但不然的话这与是上未定元矛盾.所以是上未定元显然故有（）这就是说,是的真子环,且此真子环与同构.7 理想 1. 假定是偶数环,证明,所有整数是的一个理想,等式!对不对? 证 是的一个理想. 等式 不对这是因为没有单位元,具体的说但 2. 假定是整数环,证明 证 是整数环,显然 又 3. 假定例3的是有理数域,证明,这时是一个主理想. 证 因为2与互素,所以存在使 。 即是一个主理想.4. 证明,两个理想的交集还是一个理想.证 和是两个理想非空显然 5. 找出模6的剩余类环的所有理想.证 找出的理想是我们只有这四个理想必包若包含或则必包含所有的元若同时含或则必包含或 6. 一个环!的一个子集叫做的一个左理想,假如 () ()你能不能在有理数域上的矩阵环里找到一个不是理想的左理想/证 是有理数取 是的一个左理想,但它不是理想.（只要或8 剩余类环、同态与理想1. 假定我们有一个环的一个分类，而是由所有的类所作成的集合又假定规定两个的代数运算，证明是的一个理想并且给定类刚好是模的剩余类。 证 （） 先证是的一个理想 即 而 同理于是是的理想 （） 若属于同一类，即 即属于对同一剩余类反之，若属于对的同一剩余类即 所以即 亦即属于同一类这样给定的类正好是对来讲的剩余类。 2 假定是环到环的一个同态满射，证明，是与间的同构映射，当而且只当的核是的零理想的时候。 证 （） 若，的逆象只有0既核是零理想 （） 若的核的零理想 而 那么核， 即是同构映射 3 假定是由所有复数是整数作成的环，环有多少元？ 证 是有单位元的交换环那么主理想的元的形式应为令 我们说当而且只当的奇偶性相同时，是整数所以共有两个元：一个元是而奇偶性相同以代表一个元是而奇偶性相反以代表实际上，的任二元而则 与奇偶性相同 偶数 偶数 与奇偶性相同若 与 均奇数以及均奇偶性相反，若与 均偶数以及均奇偶性相同，反之亦然。9 最大理想 1 假定是由所有复数是整数 所作成的环，证明，是一个域， 证 证法一，由习题3知是只包含两个元，是有单位元的交换环且有零理想与单位理想，所以是一个域。 证法二，证明是的最大理想。设是的一个理想，且同时有而根据习题3知奇偶性相反若则若 则的奇偶性相反同属一类即是理想，故 ，而是有单位元交换环自不必多说根据本节定理是域。 2 我们看环上的一个多项式环，当是整数环时，的理想是不是最大理想？当是有理数域的时候，情形如何？ 证 （）是整数环时，不是的最大理想这是因为由例3知是的理想明显的有且 （）当是有理数域时，可证是的最大理想。设是的一个理想，且而那么， 是理想即而 -于是 3 我们看所有偶数作成的环。证明，（4）是的最大理想，但不是一个域。 证 设是的一个理想，且而则除包含外还至少包含一个而是偶数，只有那么， 故有即是的最大理想。只包含两个元而没有单位元： 所以不是一个域。 4 我们看有理数域上的全部矩阵环，证明，只有零理想同单位理想，