浙江专用2016_2017高中数学第一章三角函数【新人教版】.docx

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学 第一章 三角函数 新人教版必修41.1任意角和弧度制1.1.1任意角目标定位1.认识角的扩充的必要性，了解任意角的概念；2.能用集合和数学符号表示终边相同的角；3.能用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的角.自 主 预 习1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.4.象限角的集合表示终边所在的象限角的集合第一象限|k360k36090，kZ第二象限|k36090k360180，kZ第三象限|k360180k360270，kZ第四象限|k36090k360，kZ即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)第一象限角是锐角.()(2)小于90的角是锐角.()(3)若角与的终边关于x轴对称，则0.()(4)若两个角始边相同，终边也相同，则这两个角相等.()提示(1)第一象限角仅仅是终边位置在第一象限，如330角不一定是锐角，故错.(2)负角小于90，但不是锐角，故错.(3)k180，kZ，故错.(4)两个角可能相差360的整数倍，故错.2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为()A.60 B.60 C.30 D.30解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，36060，故时针转过的角度为60.答案B3.下列各角中与330角终边相同的角是()A.510 B.150 C.150 D.390解析与330终边相同的角可表示为330k360(kZ)，令k2，则390.答案D4.60是第象限角_.解析60是顺时针旋转60(以x轴的非负半轴的为始边)所得角，故60为第四象限角.答案四类型一象限角的判定【例1】 在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角.(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角.规律方法求在0360范围内与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，关键是将所给的角写成k360(kZ)的形式，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.【训练1】 给出下列四个命题：75角是第四象限角；225角是第三象限角；475角是第二象限角；315是第一象限角，其中真命题有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析对于：如图1所示，75角是第四象限角；对于：如图2所示，225角是第三象限角；对于：如图3所示，475角是第二象限角；对于：如图4所示，315角是第一象限角.答案D类型二终边相同的角【例2】 写出终边落在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来.解直线yx与x轴的夹角是45，在0360范围内，终边在直线yx上的角有两个：45，225.因此，终边在直线yx上的角的集合：S|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZ.S中适合360720的元素是：452180315；451180135；45018045；451180225；452180405；453180585.规律方法解答本题关键是找到0360范围内，终边落在直线yx的角：45，225，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S.解S|k360，kZ|k360180，kZ|2k180，kZ|(2k1)180，kZ|n180，nZ.类型三区域角的表示(互动探究)【例3】 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.思路探究探究点一终边落在阴影部分的角可分成哪几部分？提示可分为x轴上方部分和x轴下方部分.探究点二终边落在同一条直线上的角有怎样的关系？提示终边落在同一条直线上的角相差180的整数倍.探究点三边界为实线与虚线有区别吗？提示有.实线表示边界角能取到，虚线表示边界角取不到.解设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成.|k36030k360105，kZ.|k360210k360285，kZ.角的集合应当是集合与的并集：|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)180105，kZ|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105，kZ|n18030n180105，nZ.规律方法解答此类题目应先在0360上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界的差异.【训练3】 如图，若角的终边落在函数yx(x0)与yx(x0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内，求角的集合.解终边落在函数yx(x0)的图象上的角的集合是|45k360，kZ，终边落在函数yx(x0)的图象上的角的集合是|135k360，kZ.所以所求角的集合是|45k360135k360，kZ.课堂小结1.本节课在介绍将角的概念推广的必要性的基础上，定义了正角、负角、零角(按旋转方向)；2.按终边所在平面直角坐标系上的位置定义了象限角；3.难点是利用集合表示终边相同的角及区域角.1.361的终边落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析3613601，361角终边落在第四象限.答案D2.下列命题中正确的是()A.三角形的内角必是第一、二象限角B.第一象限角必是锐角C.不相等的角终边一定不相同D.若k360(kZ)，则和终边相同解析90的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390的角是第一象限角，但它不是锐角；390角和30角不相等，但终边相同；故A、B、C均不正确.对于D，由终边相同的角的概念可知正确.答案D3.终边在直线yx上的角的集合S_.解析由于直线yx是第二、四象限的角平分线，在0360间所对应的两个角分别是135和315，从而S|k360135，kZ|k360315，kZ|2k180135，kZ|(2k1)180135，kZ|n180135，nZ.答案|n180135，nZ4.已知角2 010.(1)把改写成k360(kZ，0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且360720.解(1)用2 010除以360商为5，余数为210.k5.5360210，又210是第三象限角.为第三象限角.(2)与2 010终边相同的角：k3602 010(kZ)，令360k3602 010720(kZ)，解得6k3(kZ)，所以k6，5，4.将k的值代入k3602 010中得：角的值为150，210，570.基 础 过 关1.把1 485化成k360(kZ，0360)的形式是()A.454360 B.454360C.455360 D.3155360答案D2.若是第四象限角，则180是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析可以给赋一特殊值60，则180240，故180是第三象限角.答案C3.若45k180(kZ)，则的终边在()A.第一或第三象限 B.第二或第三象限C.第二或第四象限 D.第三或第四象限答案A4.已知0360，且的终边与60角的终边关于x轴对称，则_.答案605.下列说法中，正确的是(填序号).终边落在第一象限的角为锐角；锐角是第一象限的角；第二象限的角为钝角；小于90的角一定为锐角；角与的终边关于x轴对称.解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400的角是第一象限的角，但不是锐角，故的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故的说法也是错误的；小于90的角不一定为锐角，比如负角，故的说法是错误的.答案6.在与角2 013终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)720720内的角.解(1)2 0136360147，与角2 013终边相同的最小正角是147.(2)2 0135360(213)，与角2 013终边相同的最大负角是213.(3)2 0136360147，与2 013终边相同也就是与147终边相同.由720k360147720，kZ，解得：k2，1，0，1.代入k360147依次得：573，213，147，507.7.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.解(1)x|k360135xk360135，kZ.(2)x|k36030xk36060，kZx|k360210xk360240，kZx|2k18030x2k18060或(2k1)18030x(2k1)18060，kZx|n18030xn18060，nZ.8.如果为小于360的正角，这个角的4倍角的终边与这个角的终边重合，求的值.解由题意得4k360，kZ，3k360，k120，又0360，120或240.能 力 提 升9.集合Mx|xk9045，kZ，Nx|xk4590，kZ则有()A.MN B.MNC.MN D.MN解析xk90452k4545(2k1)4545，xMxN.又特别地如x18034545N，但x180M，MN，故选C.答案C10.有小于360的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是()A.90 B.180C.270 D.90，180或270解析由已知：5k360(kZ)，k90.又0360，0k4.又kZ，k1或2或3，90、180或270.答案D11.角，的终边关于y轴对称，若30，则_.解析30与150的终边关于y轴对称，的终边与150角的终边相同.150k360，kZ.答案150k360，kZ12.12点过小时的时候，时钟分针与时针的夹角是.解析时钟上每个大刻度为30，12点过小时，分针转过90，时针转过7.5，故时针与分针的夹角为82.5.答案82.513.已知角的终边在直线xy0上.(1)写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式360720的元素.解(1)如图，直线xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线OA上的角是60，终边落在射线OB上的角是240，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ，所以，角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ.(2)由于360720，即36060n180720，nZ.解得n，nZ，所以n2，1，0，1，2，3.所以S中适合不等式360720的元素为：602180300；601180120；60018060；601180240；602180420；603180600.探 究 创 新14.已知是第二象限角，试确定2，的终边所在的位置.解因为是第二象限角，所以k36090k360180，kZ.所以2k36018022k360360，kZ，所以2的终边在第三或第四象限或在y轴的负半轴上.因为k36090k360180，kZ，所以k18045k18090，kZ，所以当k2n，nZ时，n36045n36090，即的终边在第一象限；当k2n1，nZ时，n360225n360270，即的终边在第三象限.所以的终边在第一或第三象限.1.1.2弧度制目标定位1.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算；2.了解扇形的弧长和面积公式，能进行简单应用.自 主 预 习1.度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的.(2)弧度制弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.2.角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090弧度0度120135150180270360弧度23.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(0，故为第二象限角.(3)角有正、负，|.(4)角度制与弧度制不可以混用.2.时针经过一小时，时针转过了()A. rad B. radC. rad D. rad答案B3.已知扇形的面积是，半径是1，则扇形的圆心角是()A. B. C. D.解析设扇形的弧长为l，则l1，故l，所以扇形的圆心角为.答案C4.225化为弧度为.解析225225.答案类型一弧度制的概念【例1】 下列命题中，正确的命题是_(填序号).1的角是周角的，1 rad的角是周角的；1 rad的角等于1的角；180的角一定等于 rad的角；“度”和“弧度”是度量角的两种单位.解析各命题正误分析如下：1，1，命题正确.1 rad57.30，不等于1，故命题错误.由弧度制规定知，180 rad，故命题正确.“度”和“弧度”是度量角的两种不同单位，故命题正确.答案规律方法正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同.(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位.联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值.(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.【训练1】 下列各命题中，真命题是()A.1弧度就是1的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1的弧与1的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角解析根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误，D正确.答案D类型二角度与弧度的互化【例2】 将下列角度与弧度进行互化：(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.规律方法(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：rad180.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.【训练2】 (1)把11230化成弧度；(2)把化成度.解(1)11230.(2)75.类型三扇形的弧长及面积公式的应用(互动探究)【例3】 已知扇形的周长为30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？思路探究探究点一扇形的周长与扇形的弧长、半径有怎样的关系？提示设扇形的弧长为l，半径为r，则l2r30.探究点二扇形的面积与其弧长、半径有怎样的关系？提示设扇形的面积为S，则Slr.解设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则有l2r30，即l302r，Slr(302r)r，当r cm时，扇形的面积最大为 cm2，此时2(rad).规律方法(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是Slr|r2，二是l|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数.【训练3】 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.解设扇形的半径为r，弧长为l，则2rl4，l42r，根据扇形面积公式Slr，得1(42r)r，r1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式.易知：度数 rad弧度数，弧度数度数，度数与弧度数的换算也可借助计算器进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.1.240化成弧度是()A. B. C. D.解析240.答案C2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k45(kZ) B.k360(kZ)C.k360315(kZ) D.k(kZ)解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.答案C3.把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是_.解析22(1).答案4.把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？解1 4801 48010，其中0，则解得，.答案，5.已知是第二象限角，且|2|4，则的集合是_.解析是第二象限角，2k2k，kZ，|2|4，62，当k1时，当k0时，2，当k为其它整数时，满足条件的角不存在.答案(，)(，26.直径为1.4 m的飞轮，每小时按顺时针方向旋转24 000转.(1)求飞轮每秒转过的弧度数；(2)求轮周上一点P每秒经过的弧长.解(1)飞轮按顺时针方向旋转，飞轮每秒转过的弧度数为.(2)轮周上一点P每秒经过的弧长为l|r(m).7.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为 (0)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求.解因为0，且2k22k(kZ)，则必有k0，于是，又142n(nZ)，所以，从而，即n0，则是第一象限角.()(4)已知P(3a，4a)是角终边上一点，故sin .()提示(1)由三角函数定义可知，一个角的三角函数值，仅与终边位置有关.(2)sin10，故错.(3)是第三象限角时，sin cos 0，故错.(4)当0；2是第二象限角，cos 20；3是第二象限角，tan 30.答案类型一三角函数定义的应用(互动探究)【例1】 已知终边上一点P(x，3)(x0)，且cos x，求sin ，tan .思路探究探究点一利用三角函数定义结合已知条件能求出x吗？提示由余弦定义可知cos ，故可建立关于x的方程.探究点二角的终边所在象限唯一确定吗？如何求其余两个函数值.提示不确定，求其余两个函数值应分类讨论.解由题意知r|OP|，由三角函数定义得cos .又cos x，x.x0，x1.当x1时，P(1，3)，此时sin ，tan 3.当x1时，P(1，3)，此时sin ，tan 3.规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为sin ，cos ，tan .【训练1】 已知角的终边上有一点P(，m)，且sin m，求cos 与tan 的值.解由已知有m，得m0，或m，(1)当m0时，cos 1，tan 0；(2)当m时，cos ，tan ；(3)当m时，cos ，tna .类型二三角函数值符号的判断【例2】 判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5；(2)sin(cos )(为第二象限角).解(1)3450，cos 40，tan 50.(2)是第二象限角，1cos 0，sin(cos )0.规律方法三角函数值的符号仅仅由角的终边所在位置确定，口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，应透彻理解，熟练应用.【训练2】 若sin tan 0，且0，则角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由sin tan 0可知应在二、三象限，由0时，rm，由三角函数的定义得cos ，sin ，tan 3.当m0，cos 0.2.答案C3.角的终边经过点P(b，4)且cos ，则b的值为()A.3 B.3C.3 D.5解析r，cos .b3.答案A4.已知1，则角的终边在第象限_.解析0，2k22k，kZ，kk，kZ，角的终边在第一或三象限.答案一或第三5.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角，其中正确命题的序号是.解析由于第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sinsin，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错.综上可知只有正确.答案6.化简下列各式：(1)sin cos cos(5)tan ；(2)a2sin 810b2cos 9002abtan 1 125.解(1)原式sin cos cos 110111.(2)原式a2sin 90b2cos 1802abtan(336045)a2b22abtan 45a2b22ab(ab)2.7.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，求cos2sin2的值.解在角终边上任选一点，依据三角函数的定义求出cos ，sin 即可求解.由已知可在角的终边上取点P(x0，y0)，则y02x0，r|x0|，从而cos2sin2.8.已知角的终边上有一点P(，a1)，aR.(1)若120，求实数a的值.(2)若cos 0，求实数a的取值范围.解(1)依题意得，tan tan 120，所以a2.(2)由cos 0得，为第三象限角，故a10，所以a0，且sin xcos x0，那么角x是_第象限角()A.一 B.二 C.三 D.四解析tan x0，x是第一或第三象限角.又sin xcos x0，x是第一象限角.答案A10.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为()A. B. C. D.解析sin ，cos .角的终边在第四象限，且tan .角的最小正角为2.答案D11.已知终边经过点(3a9，a2)，且sin 0，cos 0，则a的取值范围为.解析sin 0，cos 0，的终边位于第二象限或y轴正半轴上，3a90，a20，2a3.答案(2，312.若点(，9)在函数y3x的图象上，则tan 的值为.解析将点(，9)代入y3x中，得93，解得2，所以tan tan .答案13.求函数f(x)的值域.解f(x)有意义且x终边不在坐标轴上.当x是第一象限角时，f(x)1113.当x是第二象限角时，f(x)1111.当x是第三象限角时，f(x)1111.当x是第四象限角时，f(x)1111.f(x)的值域为1，3.探 究 创 新14.已知，且lg cos 有意义.(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点是M，且|OM|1(O为坐标原点)，求m的值及sin 的值.解(1)由可知sin 0，是第一或四象限或终边在x轴的正半轴上的角.综上可知角是第四象限的角.(2)|OM|1，m21，解得m.又是第四象限角，故m0，从而m.由正弦函数的定义可知sin .1.2.1任意角的三角函数(二)目标定位1.认识单位圆中任意角的正弦线、余弦线和正切线；2.利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角函数问题.自 主 预 习1.三角函数的定义域正弦函数ysin x的定义域是R；余弦函数ycos x的定义域是R；正切函数ytan x的定义域是x|xR，且xk，kZ.2.三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角的终边交于P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线.记作：sin MP，cos OM，tan AT.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)由于正弦线平行于y轴，余弦线在x轴上、它们没法比较大小.()(2)角的余弦线不存在.()(3)根据单位圆中正弦线，余弦线的变化规律可知|sin |1，|cos |1.()(4)角的正切线不存在.()提示(1)可以比较大小.(2)角的余弦线变成了一个点而已.(3)对.(4)角的终边与x1平行，故其正切线不存在.2.角(02)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么的值为()A. B. C. D.或解析正、余弦符号相异，故在第二、四象限，又正、余弦线的长度相等，故或.答案D3.如图，在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的是()A.正弦线PM，正切线ATB.正弦线MP，正切线ATC.正弦线MP，正切线ATD.正弦线PM，正切线AT解析由正弦、余弦、正切线定义可知A、B、D都错，故选C.答案C4.比较大小：sin 1_cos 1.解析1cos 1.答案类型一任意角的三角函数线【例1】 在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并求角的取值集合.解作直线y交单位圆于P1，P2，则xOP1xOP2，在0，2内，xOP1，xOP2，所以满足条件的角的集合为|2k或2k，kZ.规律方法作