2018-2019学年高中数学_第二章 函数 2.2.2 二次函数的性质与图象课件 新人教b版必修1

2 2 2二次函数的性质与图象 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 点击进入情境导学 知识探究 1 函数叫做二次函数 它的定义域是 当时 二次函数变为y ax2 a 0 它的图象是一条顶点为原点的抛物线 时 抛物线开口向上 a 0时 抛物线 这个函数是函数 2 二次函数f x a x h 2 k有如下性质 1 函数的图象是一条抛物线 抛物线顶点的坐标是 对称轴是 y ax2 bx c a 0 b c 0 R 开口向下 偶 h k x h a 0 2 当a 0时 抛物线的开口向上 函数在x h处取最小值ymin 在区间上是减函数 在上是增函数 3 当a 0时 抛物线开口向下 函数在处取最大值ymax 在区间上是增函数 在上是减函数 3 函数y ax2 bx c a 0 配方后为 k f h h h x h k f h h h 拓展延伸 2 二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f x a x h 2 k a 0 在区间 m n 上的最值可作如下讨论 其中f x max表示最大值 f x min表示最小值 1 对称轴x h在区间 m n 左侧 即hn时 f x max f m f x min f n 自我检测 1 抛物线y 5x2不具有的性质是 A 开口向下 B 对称轴是y轴 C 与y轴不相交 D 最高点是原点 C 解析 由y 5x2 知该抛物线的开口向下 对称轴为y轴 顶点坐标为 0 0 与y轴交于点 0 0 2 二次函数y 2 x 1 2 8的最值情况是 A 最小值是8 无最大值 B 最大值是 2 无最小值 C 最大值是8 无最小值 D 最小值是 2 无最大值 C 解析 因为二次函数的图象开口向下 故无最小值 且当x 1时 y最大值 8 故选C 3 已知二次函数y x2 2x 1 则它的图象大致为 B 解析 由y x 1 2 可知其图象开口向上 顶点为 1 0 故选B 4 将函数y 3x2的图象向平移2个单位 再向平移3个单位 就得到y 3 x 2 2 3的图象 答案 左下 类型一 二次函数的图象与性质 课堂探究 素养提升 例1 1 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列结论中正确的是 A a 0 B 在 1 上 函数单调递增 C c 0 D 3是方程ax2 bx c 0的一个根 解析 1 因为抛物线开口向下 所以a0 所以选项C错误 又因为对称轴为x 1 所以当x 1 时 函数单调递减 所以选项B错误 又因为x 1是ax2 bx c 0 a 0 的一个根 而另一个根到1的距离与 1到1的距离相等 所以另一根为3 所以选项D正确 故选D 2 函数f x x2 m 1 x m2在 3 上单调递增 则m的取值范围是 A 5 B 5 C 5 D 5 方法技巧二次函数的开口方向 对称轴 顶点等性质 一定要和相应函数的图象对应好 解题时要注意运用数形结合思想 变式训练1 1 1 函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是减函数 则a的取值范围是 A 3 B 3 C 3 D 3 解析 1 要使二次函数f x 在 4 上是减函数 则其对称轴需在x 4的右边 所以 a 1 4 解得a 3 故选A 2 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则下列关系式不正确的是 A a0 C a b c 0 D b2 4ac 0 类型二 二次函数的最值 思路点拨 首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴 再看 1 2 3 各区间内是否包含对称轴 数值 从而确定各区间的性质后求其最值 例2 已知二次函数y f x x2 2x 2 1 当x 0 4 时 求f x 的最值 2 当x 2 3 时 求f x 的最值 3 当x t t 1 时 求f x 的最小值g t 解 y f x x2 2x 2 x 1 2 1 所以抛物线对称轴为x 1 1 因为x 1 0 4 且a 1 0 所以当x 1时 y有最小值 ymin f 1 1 因为f 0 2 f 4 10 所以当x 4时 y有最大值 ymax f 4 10 2 因为1 2 3 且1 2 所以f x 在 2 3 上是单调增函数 所以当x 2时 y有最小值 ymin f 2 2 当x 3时 y有最大值 ymax f 3 5 方法技巧二次函数求最值问题 首先要采用配方法 化为y a x h 2 k的形式 得顶点 h k 或对称轴方程x h 可分为三个类型 1 轴固定 区间也固定 2 轴变动 区间固定 这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内 何时在区间之外 3 轴固定 区间变动 这时要讨论区间中的参数 确定轴与区间的相对位置 变式训练2 1 二次函数y x2 2ax 3 x 1 2 求函数的最小值 类型三 确定二次函数的解析式 思路点拨 由于题中给出了顶点坐标 可用顶点式设出二次函数 再由g x 确定a的值 解 如果二次函数的图象与y ax2的图象开口大小相同 开口方向也相同 可知二次项系数相同 若顶点坐标为 h k 则其解析式为y a x h 2 k 例3 二次函数f x 与g x 的图象开口大小相同 开口方向也相同 已知函数g x 的解析式和f x 图象的顶点 写出函数f x 的解析式 1 函数g x x2 f x 图象的顶点是 4 7 2 函数g x 2 x 1 2 f x 图象的顶点是 3 2 1 因为f x 与g x x2的图象开口大小相同 开口方向也相同 f x 的图象的顶点是 4 7 所以f x x 4 2 7 x2 8x 9 2 因为f x 与g x 2 x 1 2的图象开口大小相同 开口方向也相同 且g x 2 x 1 2与y 2x2的图象开口大小相同 开口方向也相同 又因为f x 图象的顶点是 3 2 所以f x 2 x 3 2 2 2x2 12x 16 方法技巧二次函数常见设法 1 一般式 y ax2 bx c a b c为常数 a 0 2 顶点式 y a x h 2 k a h k为常数 a 0 3 两根式 y a x x1 x x2 a x1 x2是常数 a 0 要确定二次函数解析式 就是要确定解析式中的待定系数 常数 当已知抛物线上任意三点时 通常设函数解析式为一般式y ax2 bx c 然后列出三元一次方程组求解 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线另一条件时 通常设函数解析式为顶点式y a x h 2 k 再利用另一条件求解a 当已知抛物线与x轴交点或交点的横坐标时 通常设函数解析式为两根式y a x x1 x x2 求解 变式训练3 1 已知二次函数f x 同时满足条件 f 1 x f 1 x f x 的最大值为15 f x 0的两根的立方和等于17 求f x 的解析式 类型四 易错辨析 例4 已知函数y x2 2x 3在区间 0 m 上有最大值3 最小值2 求实数m的取值范围 错解 因为y x2 2x 3 x 1 2 2 所以当x 0时 y 3 当x 1时 y 2 且当x 0 1 时 y x2 2x 3为减函数 所以当m 1时 ymax 3 ymin 2 纠错 错解只注意到二次函数在 0 m 上为递减时的情形 而忽