2018-2019学年八年级数学下册_第一部分 基础知识篇 第11课 正方形例题课件 （新版）浙教版

重点中学与你有约 例1 如图 在 ABC中 ACB 90 BC的垂直平分线EF交BC于点D 交AB于点E 且BE BF 添加一个条件 仍不能证明四边形BECF为正方形的是 A BC ACB CF BFC BD DFD AC BF 解题技巧 EF垂直平分BC BE EC BF CF BF BE BE EC CF BF 四边形BECF是菱形 当BC AC时 ACB 90 则 A ABC 45 EBF 2 ABC 2 45 90 菱形BECF是正方形 故选项A能证明四边形BECF为正方形 当CF BF时 即 BFC 90 利用正方形的判定得出菱形BECF是正方形 当BD DF时 即EF BC 利用正方形的判定得出菱形BECF是正方形 当AC BF时 无法得出菱形BECF是正方形 故选D 举一反三 如图 在 ABC中 ACB 90 BC的垂直平分线DE交BC于点D 交AB于点E 点F在DE的延长线上 且AF CE 1 四边形ACEF是平行四边形吗 说明理由 2 当 B的大小满足什么条件时 四边形ACEF为菱形 请说明你的结论 3 四边形ACEF有可能是正方形吗 为什么 举一反三 思路分析 1 已知AF EC 只需证明AF EC即可 DE垂直平分BC 易知DE是 ABC的中位线 则FE AC BE EA CE AF 因此 AFE AEC都是等腰三角形 可得 F 5 1 2 即 FAE AEC 由此可证得AF EC 2 要使得平行四边形ACEF为菱形 则AC CE 又 CE 0 5AB 使得AB 2AC即可 根据AB AC即可求得 B的值 3 通过已知在 ABC中 ACB 90 推出 ACE 90 不能为直角 进行说明 答案 1 四边形ACEF是平行四边形 DE垂直平分BC D为BC的中点 ED BC 又 AC BC ED AC E为AB中点 ED是 ABC的中位线 BE AE FD AC BD CD Rt ABC中 CE是斜边AB的中线 CE AE AF F 5 1 2 FAE AEC AF EC 又 AF EC 四边形ACEF是平行四边形 2 当 B 30 时 四边形ACEF为菱形 理由 ACB 90 B 30 AC 0 5AB 由 1 知CE 0 5AB AC CE又 四边形ACEF为平行四边形 四边形ACEF为菱形 3 四边形ACEF不可能是正方形 ACB 90 ACE ACB 即 ACE 90 不能为直角 所以四边形ACEF不可能是正方形 失误防范 正方形的判定 有一个角是直角的菱形是正方形 一组邻边相等的矩形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 例2 如图 设 a b 0 则有 A k 2B 1 k 2C D 重点中学与你有约 解题技巧 甲图中阴影部分面积为a2 b2 乙图中阴影部分面积为a2 ab 则因为0 b a 所以则1 k 2 故选B 举一反三 如图所示 四边形ABCD是一个长方形草坪 长20米 宽14米 中间有一条宽2米的曲折小路 求路的面积 举一反三 思路分析 小路是曲折的 不规则图形 可用采用 移 的思路来解决 答案 把左图下面空白部分往上 往左移 使它与上面空白部分连接在一起 就成了右图中的空白部分 是一个长方形 长是20 2 18米 宽是14 2 12米 这个长方形的面积 18 12 216平方米 小路的面积 大长方形的面积 空白长方形的面积 20 14 216 64平方米 失误防范 图形的面积计算 规则图形 利用公式法求解 不规则图形的面积 在图形面积计算时 经常会到一些无法直接求或不规则的图形 这时我们需要转换解题思维 根据图形的基本关系 运用分解 平移 旋转 割补 添辅助线等方法 把不规则图形转化为规则图形 下面说几种常见的面积计算方法 大减小 补形 移图 分割 在计算过程中要熟练掌握图形的性质及面积的计算 例3 对正方形ABCD进行分割 如图1 其中E F 分别是BC CD的中点 M N G分别是OB OD EF的中点 沿分割线可以剪出一副 七巧板 用这些部件可以拼出很多图案 图2就是用其中6块拼出的 飞机 若 GOM的面积为1 则 飞机 的面积为 重点中学与你有约 解题技巧 由 飞机 的图形可知 飞机 由2个面积为1的三角形 2个面积为4的三角形 1个面积为2的平行四边形 1个面积为2的正方形组成 故 飞机 的面积为 1 2 4 2 2 2 14 故答案为 14 举一反三 用边长为8厘米的正方形 做了一套七巧板 拼成如图所示的小天鹅 则其中阴影部分的面积为平方厘米 举一反三 思路分析 看图发现阴影部分面积是正方形的面积减去A B C部分的面积 从而分别求得A B C的面积即可 答案 如图 阴影部分面积是正方形的面积减去A B C部分的面积 A与B的和是正方形的面积的一半 C的面积是正方形的 所以 阴影部分面积 64 64 64 24平方厘米 故答案为 24 失误防范 七巧板拼接图形求面积问题 七巧板是由一个正方形分割成五个等腰直角三角形 一个正方形和一个平行四边形 利用这七块几何图形可以拼出千姿百态的图案 以七巧板为背景 可以编拟一些有关面积计算问题 解这种类型问题关键是要掌握好正方形的性质 利用正方形的性质先求解分割图形的面积 然后在求解拼接图形的面积 例4 如图 在正方形ABCD中 E为对角线AC上一点 连接EB ED 1 求证 BEC DEC 2 延长BE交AD于点F 若 DEB 140 求 AFE的度数 重点中学与你有约 解题技巧 1 证明 四边形ABCD是正方形 CD CB AC是正方形的对角线 DCA BCA 又CE CE BEC DEC 2 解 DEB 140 由 BEC DEC可得 DEC BEC 140 2 70 AEF BEC 70 又 AC是正方形的对角线 DAB 90 DAC 45 在 AEF中 AFE 180 70 45 65 举一反三 如图 在正方形ABCD中 点E是边CD上一点 点F是边BC的延长线上一点 连接BE DF 且BE DF 求证 BEC DFC 思路分析 直接利用正方形的性质结合HL定理得出Rt BCE Rt DCF 进而得出答案 答案 四边形ABCD是正方形 BD DC BCD 90 DCF 90 在Rt BCE和Rt DCF中 BC DC BE DF Rt BCE Rt DCF HL BEC DFC 失误防范 正方形利用性质求解问题注意事项 这种类型的题目一般不会单纯的只用正方形的性质来求解 更多的情况是在利用正方形性质的同时还经常会涉及到之前所学的知识 比如 全等三角形的性质和判定 三角形的内角和定理 对顶角等知识点 理解和掌握并能熟练地运用这些性质进行推理是解此类型题的关键 所以在学习的过程中一定要及时复习熟练掌握好几何数学中的重要定理 例5 如图 在四边形ABCD中 AB BC 对角线BD平分 ABC P是BD上一点 过点P作PM AD PN CD 垂足分别为M N 1 求证 ADB CDB 2 若 ADC 90 求证 四边形MPND是正方形 重点中学与你有约 解题技巧 证明 1 BD平分 ABC ABD CBD 又 BA BC BD BD ABD CBD ADB CDB 2 PM AD PN CD PMD PND 90 又 ADC 90 四边形MPND是矩形 ADB CDB PM AD PN CD PM PN 四边形MPND是正方形 举一反三 已知 如图 点M是矩形ABCD的边AD的中点 点P是BC边上的一动点 PE CM PF BM 垂足分别为E F 当四边形PEMF为矩形时 矩形ABCD的长与宽满足什么条件 试说明理由 在 中当点P运动到什么位置时 矩形PEMF变为正方形 为什么 举一反三 思路分析 I 是由结果推已知条件的试题 可以把结果当做一个已知条件用 是探索性试题 同样可以把结果当做条件解题 答案 当四边形PEMF为矩形时 矩形ABCD的长是宽的2倍 理由 四边形ABCD是矩形 A D 90 AB DC 又 AM DM AMB DMC SAS AMB DMC 四边形PEMF为矩形 BMC 90 AMB DMC 45 AM DM DC 即AD 2DC 当四边形PEMF为矩形时 矩形ABCD的长是宽的2倍 答 当点P运动到BC中点时 四边形PEMF变为正方形 AMB DMC MB MC 四边形PEMF为矩形 PE MB PF MC又 点P是BC中点 PE PF 0 5MC 四边形PEMF为正方形 失误防范 正方形的判定 有一个角是直角的菱形是正方形 一组邻边相等的矩形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 四边相等 有一个角是直角的四边形是正方形 先证菱形 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 先证菱形 四边均相等 对角线互相垂直平分且相等的平面四边形 先证菱形 例6 如图 正方形ABCD的边长为4 DAC的平分线交DC于点E 若点P Q分别是AD和AE上的动点 则DQ PQ的最小值是 重点中学与你有约 解题技巧 过D作AE的垂线交AE于F 交AC于D 再过D 作D P AD于P DD AE AFD AFD 90 AF AF DAE CAE DAF D AF DF D F D 是D关于AE的对称点 AD AD 4 DQ PQ D Q PQ D P D P 即为DQ PQ的最小值 四边形ABCD是正方形 DAD 45 AP P D 在Rt AP D 中 P D 2 AP 2 AD 2 2P D 2 16 P D 2 即DQ PQ的最小值为2 故答案为 2 举一反三 如图 正方形ABCD的边长为4 点E是AB的中点 点P是边BC上的动点 点Q是对角线AC上的动点 包括端点A C 则EP PQ的最小值是 举一反三 思路分析 如图作点E关于BC的对称点E 作E Q AC于Q 交BC于P 则PE PE 可知PQ PE PE PQ 所以当Q用Q 重合时 PE PQ最小 垂线段最短 求出E Q 的长即可解决问题 答案 如图作点E关于BC的对称点E 作E Q AC于Q 交BC于P PE PE PQ PE PE PQ 当Q用Q 重合时 PE PQ最小 垂线段最短 四边形ABCD是正方形 E AQ 45 AE 6 E Q 3 PE PQ的最小值为3 故答案为3 失误防范 轴对称 最短问题 这类问题属于中考常考题型 在这类问题中 利用轴对称 将折线转化为直线 再根据 两点之间线段最短 垂线段最短 等相关的知识 得到最短线段 这一类问题也是当今中考的热点题型 通常会以 直线 角 三角形 菱形 矩形 正方形 梯形 圆 坐标轴 抛物线等为载体 通常会有下面几类 两边之和大于第三边型 两点之间线段最短型 垂线段最短型 解题时要灵活应用定理根据题意作出辅助线是解答此题的关键 例7 已知 在 ABC中 BAC 90 ABC 45 点D为直线BC上一动点 点D不与点B C重合 以AD为边作正方形ADEF 连结CF 1 如图1 当点D在线段BC上时 求证 CF CD BC 2 如图2 当点D在线段BC的延长线上时 其他条件不变 请直接写出CF BC CD三条线段之间的等量关系 重点中学与你有约 3 如图3 当点D在线段BC的反向延长线上时 且点A F分别在直线BC的两侧 其他条件不变 请直接写出CF BC CD三条线段之间的关系 若正方形ADEF的边长为2 对角线AE DF相较于点O 连结OC 求OC的长度 重点中学与你有约 解题技巧 1 证明 BAC 90 ABC 45 ACB ABC 45 AB AC 四边形ADEF是正方形 AD AF DAF 90 BAD 90 DAC CAF 90 DAC BAD CAF BAD CAF BD CF BD CD BC CF CD BC 2 CF CD BC 解题技巧 3 CD CF BC BAC 90 ABC 45 ACB ABC 45 AB AC 四边形ADEF是正方形 AD AF DAF 90 BAD 90 BAF CAF 90 BAF BAD CAF BAD CAF ACF ABD ABC 45 ABD 135 ACF ABD 135 FCD 90 FCD是直角三角形 正方形ADEF的边长为2且对角线AE DF相交于点O DF AD 4 O为DF中点 OC DF 2 举一反三 1 如图1 已知矩形ABCD中 点E是BC上的一动点 过点E作EF BD于点F EG AC于点G CH BD于点H 试证明CH EF EG 2 若点E在BC的延长线上 如图2 过点E作EF BD于点F EG AC的延长线于点G CH BD于点H 则EF EG CH三者之间具有怎样的数量关系 直接写出你的猜想 举一反三 3 如图3 BD是正方形ABCD的对角线 L在BD上 且BL BC 连接CL 点E是CL上任一点 EF BD于点F EG BC于点G 猜想EF EG BD之间具有怎样的数量关系 直接写出你的猜想 4 观察图1 图2 图3的特性 请你根据这一特性构造一个图形 使它仍然具有EF EG CH这样的线段的关系 并满足 1 或 2 的结论 写出相关题设的条件和结论 举一反三 思路分析 1 要证明CH EF EG 首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明 就自然的想到添加辅助线 若作CE NH于N 可得矩形EFHN 很明显只需证明EG CN 最后根据AAS可求证 EGC CNE得出结论 2 过C点作CO EF于O 可得矩形HCOF 因为HC FO 所以只需证明EO EG 最后根据AAS可求证 COE CGE得出猜想 3 连接AC 过E作EG作EH AC于H 交BD于O 可得矩形FOHE 很明显只需证明EG CH 最后根据AAS可求证 CHE EGC得出猜想 4 点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点 点P到两腰的距离的和 或差 等于这个等腰三角形腰上的高 很显然过C作CE PF于E 可得矩形GCEF 而且AAS可求证 CEP CNP 故CG PF PN 答案 1 证明 过E点作EN CH于N EF BD CH BD 四边形EFHN是矩形 EF NH FH EN DBC NEC 四边形ABCD是矩形 AC BD 且互相平分 DBC ACB NEC ACB EG AC EN CH EGC CNE 90 又 EC CE EGC CNE EG CN CH CN NH EG EF 2 解 猜