平面的基本性质(一).doc

平面的基本性质（一） 一、教学目标1通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力2通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力3将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平二、教学重点、难点、疑点及解决办法1教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题2教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式（3）确定两相交平面的交线三、课时安排 2课时四、教学步骤A公理立体几何中有一些公理，构成一个公理体系人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理请同学们思考下列问题（用幻灯显示）问题1：直线l上有一个点P在平面内，直线l是否全部落在平面内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面内，直线l是否全部落在平面内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内这里的条件是什么？结论是什么？条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（）内，结论是：直线（a）在平面（）内把条件表示为Aa，Bb且A，B，把结论表示11）这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？（不是，因为平面是无限延展的）根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图19（1）给学生看）问：两个平面会不会只有一个公共点？正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）可见，这无数个公共点在一条直线上这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？（条件是两平面（、）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线）条件表示为A，A，结论表示为：a，Aa，图形表示为图19（2）或图112公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图110给学生看，学生思考后回答，教师归纳）这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？（条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（）A，B，C，图形表示为图113，公理3是确定平面位置的依据之一以上三个公理是平面的基本性质其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在也就是说，如果有顶多只有一个因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面存在性和唯一性B推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面说出推论1的条件和结论条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面求证：经过a和A有且只有一个平面证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、CA、B、C三点不在同一直线上过A、B、C三点有且只有一个平面（公理3）B，C即过直线a和点A有一个平面“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面B，C过不共线三点A、B、C有两个平面、，这与公理3矛盾假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面，而只能有一个平面这里证明“唯一性”时用了反证法推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面其条件、结论分别是什么？（条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面）（板书）：已知：直线a直线bA求证：经过a、b有且只有一个平面证明：“存在性”在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面（公理3）Aa，Ba，A，B，平面是经过相交直线a、b的一个平面“唯一性”设过直线a和b还有另一个平面，则A、B、C三点也一定都在平面内过不共线三点A、B、C就有两个平面和平面与平面重合过直线a、b的平面只有一个这里证明唯一性时，用的是“同一法”推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面（证明作为思考题）C练习1下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，、表示平面）AA，B，ABBa，a，=a其中命题和叙述方法都正确的是 2下列推断中，错误的是 DA、B、C，A、B、C，且A、B、C不共3一个平面把空间分成_部分，两个平面把空间最多分成_部分，三个平面把空间最多分成_部分4确定经过A、B、C三点的平面与已知平面、的交线（图116）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面存在性和唯一性证明的方法是反证法和同一法五、布置