二用数学归纳法证明不等式.docx

用数学归纳法证明不等式在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用例1 已知x1，且x0，nN，n2求证：(1x)n1nx证：(1)当n=2时，左边=(1x)2=12xx2，右边=12x，因x20，则原不等式成立(在这里，一定要强调之所以左边右边，关键在于x20是由已知条件x0获得，为下面证明做铺垫)(2)假设n=k时(k2)，不等式成立，即(1x)k1kx师：现在要证的目标是(1x)k+11(k1)x，请同学考虑师：现将命题转化成如何证明不等式(1kx)(1x)1(k1)x显然，上式中“=”不成立故只需证：(1kx)(1x)1(k1)x提问：证明不等式的基本方法有哪些？(学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结)师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写当n=k1时，因为x1，所以1x0，于是左边=(1x)k+1=(1x)k(1x)(1x)(1kx)=1(k1)xkx2；右边=1(k1)x因为kx20，所以左边右边，即(1x)k11(k1)x这就是说，原不等式当n=k1时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立(通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)例2 证明：2n2n2，nN证：(1)当n=1时，左边=212=4；右边=1，左边右边所以原不等式成立(2)假设n=k时(k1且kN)时，不等式成立，即2k2k2现在，请同学们考虑n=k1时，如何论证2k+12(k1)2成立师：将不等式2k22(k1)2，右边展开后得：k22k1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k22k1方向进行转化，即：2k22=k22k1k22k3由此不难看出，只需证明k22k30，不等式2k22k22k1即成立师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？师：(补充板书)当n=2时，左=222=6，右=22=4，所以左右；当n=3时，左=232=10，右=32=9，所以左右因此当n=1，2，3时，不等式成立(以下请学生板书)(2)假设当n=k(k3且kN)时，不等式成立即2k2k2因为2k+12=22k2=2(2k2)22k22=k22k1k22k3=(k22k1)(k1)(k3)(因k3，则k30，k10)k2+2k1=(k1)2所以2k+12(k1)2故当n=k1时，原不等式也成立根据(1)和(2)，原不等式对于任何nN都成立师：通过例2可知，在证明n=k1时命题成立过程中，针对目标k22k1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证n=1扩大到验证n=1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，达到目标例3 求证：当n2时，(在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点)问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：师：设S(