2012高考数学二轮复习高三数学反函数.doc

教师助手 学生帮手 家长朋友 2.5 反函数巩固夯实基础 一、自主梳理 1.反函数定义：若函数y=f(x)(xA)的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x=(y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作x=f-1(y). 在函数x=f-1(y)中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x、y，把它改写成y=f-1(x). 2.互为反函数的两个函数图象间关系 y=f(x)与y=f-1(x)在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称. 3.求反函数的步骤 (1)解关于x的方程y=f(x),得到x=f-1(y); (2)把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f-1(x); (3）求出并说明反函数的定义域即函数y=f(x)的值域. 二、点击双基1 y=(1x2)的反函数是( )A.y=1+(-1x1) B.y=1+(0x1)C.y=1-(-1x1) D.y=1-(0x1)解析：y2=-(x-1)2+1,(x-1)2=1-y2,x-1=,即y=1+(0x1).答案：B2若函数f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1,则f(1)的值为( )A.4 B.-4 C.1 D.-1解析:令2x+1=1x=-1,f(1)=-1.故选D.答案:D3已知函数f(x)的反函数是f-1(x)=logm+1(+m)(m0),则方程f(x)=2 006的解集为( )A.-1 B.-1,1 C.1 D.答案:由反函数的概念知f-1(2 006)=logm+1(+m)=1. 所以方程f(x)=2 006的解集为1.故选C.答案:C4函数f(x)=-x2(x(-,-2)的反函数f-1(x)=_.解析:y=-x2(x-2),y-4, x=-.x、y互换, f-1(x)=-(x-4).答案:-(x-4)5已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=logsin(-cos2)，其中01)的反函数,则使f-1(x)1成立的x的取值范围为( )A.(,+) B.(-,) C.(,a) D.a,+解法一:求得f-1(x)=loga(x+)(a1).由f-1(x)1得loga(x+)logaa, x+a,解得x.解法二:a1, f(x)=(ax-a-x)为增函数. 根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系,f-1(x)1,即在f(x)中,在x1的条件下,求f(x)的范围. f(x)f(1)=(a-a-1)=.答案:A讲评:解析一为常规解法,即求出反函数解析式. 解法二巧妙地利用函数与反函数的定义域、值域的关系以及函数的单调性,可以起到事半功倍的作用.【例2】 求函数f(x)=的反函数.解:当x-1时，y=x2+12，且有x=-,此时反函数为y=-(x2). 当x-1时，y=-x+12，且有x=-y+1,此时反函数为y=-x+1(x2=. f(x)的反函数f-1(x)=.讲评:分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 (1)已知函数y=ax+b的图象过点(1,4),其反函数的图象过点(2,0),求a的值.(2)已知f(x)=,求f-1().解:(1)由函数y=ax+b的图象过点A(1,4),得a+b=4. 由y=ax+b的反函数的图象过点(2,0),则原来的函数图象过点(0,2), 所以a0+b=2. 解,得a=3,b=1. (2)由=,得2-22x=1+2x, 所以32x=1. 所以2x=. 所以x=log2,即f-1()=log2.链接提示 (1)若点M(a,b)在原函数y=f(x)的图象上,