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三维大地电磁反演：数据空间法摘要 目前，一种三维大地电磁最小模型反演算法已经提出，这种算法是奥卡姆反演方法的变种，其主要是思想是基于数据空间的反演算法。由于模型空间矩阵的计算时间相对较长，使得基于模型空间的奥卡姆法三维大地电磁反演并不实用。这些困难能够用基于数据空间的奥卡姆反演算法来解决，在这种方法中，矩阵维数依赖于数据空间的大小，而不是模型空间的取值。通过将模型空间转换到数据空间，从而使得奥卡姆方法能够在PC机上进行反演计算。为了减小计算时间，一种宽松的集中规则被用于计算灵敏度矩阵的迭代正演模型标准。这种规则使得计算时间压缩了70%，且不影响反演结果。通过模拟数据的数值计算试验表明通过少量的迭代次数中就能够得到满意的结果，在之后的迭代中需要取消不必要的结构并找到最小标准的地电模型。关键词 大地电磁 ；数据空间法；三维反演；奥卡姆反演第 - 1 - 页 （共 16 页）三维大地电磁反演：数据空间法1引言进行三维大地电磁反演的常规运算是对大地电磁方法的未来发展的需求，由于二维解释常常并不能解释复杂的地质区域中场数据集呈现的重要特征。近年来一些人在发展三维大地电磁反演算法做出努力，使用了合理的大范围趋近方法（例如：Mackie和Madden在1993年,Newman和Alumbaugh在2000年，Farquharon等在2002年）。这些方法已经能够去合理的恢复电导率变化，至少在理论数据的案例测试中得到验证。然而，三维大地电磁反演问题还远没有解决。高配置终端工作站或者并行计算机的需求依然阻碍三维程序运行的应用，计算机问题与实际数据的真实性影响着所有的设想方法。所以，提高实施三维反演算法的效率受到了高度的关注。基于快速相似模型的规则有望提高效率，比如你拟线性或拟解析相似模型（Torress-Verdin和Habashy在1994年，Zhdanov和方在1996上半年，Tseng等在2003年）。因为这些相似性模型响应是正比于修改的电导率张量拟线性函数，是可能的简化反演方法（有如：Zhdanov和方在1996下半年，Zhdanov等在2000下半年）。依据被使用的简化程度，像这样的方法能够快速对地球结构成像。但是，这些相似性方法也有各自的局限性，比如，当电导率相对较小时效果最好，而且一般反演方法的真实性和准确性对所有问题都比较通用。尽管这些快速反演规则没有问题的求解，但这些基于电磁感应方程的所有解答方法依然有诸多用途。在大部分的三维大地电磁反演方法采用了更多经典的反演接近方式中；有的是将函数和数据的误差与粗糙模型链接起来（像Parker在1994年），有的是将被用于计算的惩罚函数梯度最小化，适应模型规则，并用满足模型的趋近方式数字法解解决相关的正演问题。例如，Mackie(2002年在个性化交流中)已经将非线性共轭梯度方法向三维扩展（NLCG,Rodi和Mackie在2001年），在PC机组的信息通行界面（MPI）的辅助下，Newman和Alumbaugh(2000年)就向三维反演使用了类似的技术，不过在大量平行系统的帮助下，Sasaki(2001年)和Farquharson等人（2002年）就根据高斯-牛顿（GN）发展了三维反演方法。所有的这些规则能够成成模型空间反演，并于此研究优化维模型空间电导率的形成。用模型空间方法，方程的数量和可使用内存（RAM）都强烈的依赖于模型组的大小。特别地，在模型空间中最直接最小接近惩罚函数（比如高斯-牛顿法）时要生成并解决组的常规线性方程。对于三维反演，的变大在关系到计算时间和特别的是可写入内存使得计算机不可能运行。关于解决这个困难的一种近似方法（即，Sssaki在2001年，Newman和Alumbaugh在2000年）是使用一种电导率变化的粗糙或原始方案，使得依然较小。但是正演的结果却强烈的依赖于模型方案的选择，除非地球结构有非常强的优先限制，否则这样的计算结果可能会误导我们。对于经过迭代的反演方法，比如共轭梯度（CG,Mackie和Madden在1993年）或者非线性共轭梯度（Newman和Alumbaugh在2000年）避免了过于严格的形式并为常规方程储存阶系数矩阵，而且这种方法能够容许更多一般的地质真实模型规则。这种一般的迭代趋近方法在只有为已有规则的最小三维反演结构的基础上实际计算规则而且较大时逐渐引起重视。这篇文章里，我们引出一种新兴的数据空间三维大地电磁反演算法，并将惩罚函数的最小值在维数据空间中形成。并用数据空间方法趋近原始空间（即：部分范围空间在数据中没有影响）在输出时被取消，同时组常规方程被组方程取代。这样一来，所有计算的数量和需要的数组首要的依赖于独立数据的大小，这对三维地质仿真模型将远远小于。实际上数据空间方法被广泛的应用于反演地质问题（即：Parker在1994年）和其他的物理场（Egbert等在1994，Chua和bennett在2001年）。如果没有特殊的限制，数据空间趋近法不考虑共轭梯度法而考虑反演算法。我们准确认为这类趋近方法是在奥卡姆准则上的数据空间转化。原始的奥卡姆反演（Constable等于1987年，deGroot-Hedlin和Constable于1990年）方法是在模型空间列出方程。现在，我们重新列出在数据空间的奥卡姆方程等式就像在Siripunraraporn和Egbert(2000)中解决的二维大地电磁反演问题。如同在Siripunvaraporn和Egbert(2000),数据空间算法利用减小的基本接近更加有效。在这里，我们只考虑大部分直接在奥卡姆准则下的数据空间转化执行情况，并作为数据空间趋近中实际意义的一个实例。第 - 15 - 页 （共 16 页）2 奥卡姆反演奥卡姆反演寻找最平滑或者最小的标准模型满足数据（Constable于1987）。在数学上，只要能找到常规泛函数: (1)这里是电阻率模型, 是初始模型，是模型的协方差矩阵定义的模型标准，是已经观测的数据，是模型响应，是数据响应矩阵，是期望误差，是拉格朗日系数。假设数据协方差特别的准确，应该是理论上的1（Constable等于1987），同时我们在模拟数据实验上使用这个值。对于真实数据在一般情况下必须设置一个高一点的值。为了找到方程（1）中的驻点，为了不直接求解（1），我们对求惩罚函数。当固定时，和都有同样的驻点。 (2)用一系列使最小，则能够得到U的驻点值。（例如，找到使得数据误差是）。2.1 模型空间方法由于是大地电磁反演非线性问题，需要采取迭代法逼近，考虑到线性函数是 (3)这里下标决定迭代次数，同时是在计算时的维灵敏度矩阵。将（3）代入（2）得到驻点。同时，得到一系列相似方法的迭代形式： (4)这里，模型空间垂直生成矩阵是维正定半定义的对称矩阵。为了得到最终（1）的驻点的目标，尝试用一系列的值到（4）中的迭代使其标准解答的误差最小。每次迭代的目标（图1）是为了得到到目标更小的误差。一旦迭代后的误差达到了期望水平，就开始同样误差水平进行下一次迭代过程，同时改变的值寻找最小实现目标误差标准的模型（图二）。由于各种原因总是不能到达目标误差水平。即使如此，不断迭代次数的增加也能使误差水平提高。2.2 数据空间方法就像Parker(1994)年展示并于附录A中总结的那样，第k次迭代的解决方法能够像原始平滑的灵敏度矩阵的多行线性方程结合。比如： （5）其中是一个基本函数（）的待求扩展系数向量，将（5）代入（2）中的线性形式中，同时解出其驻点，此过程中，又得到了一系列迭代答案 （6）其中是组数据空间对称并正定半限定的垂直结果矩阵，像标准模型空间的奥卡姆反演类似，可以从（6）中得到，同时更新模型，得到计算误差。就像在模型空间趋近方法一样，所有的计算都是在图一和图二中不断变化的情况下完成的。从两种趋近方法中得到的结果是：如果使用同样水平的规则在（4）中应用模型空间方法和在（5）（6）中应用数据空间方法在理论上都应该是较为显著的。（4）和（6）中主要的差别是待求方程组的维数有显著的减小：从模型空间的组到数据空间方法的组。在实际情形中，尤其是现在考虑的三维大地电磁范围问题中的远小于。这种减小量意味着在内存和CPU时间上都节省着计算时间。在数据空间方法中需要的模型协方差矩阵是两种方法的另一个区别，而其逆矩阵需要应用在模型空间方法里。模型空间方法里，模型协方差的逆矩阵影响效率，因此经常作为系数模型运行的过程程序（Constable等于1987；deGroot-Hedlin和Constable于1990），实际上特殊粗糙模型因子由于其大小的因素的逆矩阵难以确定并总是满秩，在转换中，模型协方差矩阵对数据空间计算有很大的影响（比如，Siripunvaraporn于2000）由于尺寸和病态等原因并不能转换。而用具有同一模型的协方差矩阵即使是小的模型网格去直接的比较模型和数据空间计算也显得不太现实。考虑到如断层和海洋初始信息已经包含在了模型协方差因子，因此也是数据空间方法的另一大优势。了解更多的关于模型和数据空间的奥卡姆反演方法请看Parker(1994),Siripunvaraporn和Egbert(2000),Constable等（1987），以及deGroot-Hedlin和Constable(1990)。3 详细的反演算法依据Siripunvarapan和Egbert(2000)的论文关于对二维反演的描述严重地影响着三维数据空间的奥卡姆应用程序算法。在这里，我们简单的总结下奥卡姆方法到三维程序的算法始末。3.1 三维正演模型建造反演算法在计算模型响应和计算灵敏度矩阵都严重地依赖于正演模型的建立。有作用和准确的正演模型建造准则是有必要的（比如，Mackie等于1994，Smith于1996年，Newman和Alumbaugh于2000年Siripunvaraporn等于2002，Avdeev等于2002年）。我们用一种交错网格有限差分数字趋近方法来解决二阶麦克斯韦方程组。同样，这种对三维正演模型建造非常灵活并容许较大的复杂模型结构（依赖于计算机资源）的趋近方法是很有作用的方法。根据自然存在的两种二阶麦克斯韦方程组：TE模式，有电场关系： (7a)TM模式，有磁场关系： (7b)其中是真空磁导率，是角频率，是电导率（电阻率的倒数），是电场，是磁场。Siripunvaraporn等于（2002）年中发表的文章中指出用交错网格有限差分在（7a）中的得到的方程组等式没有（7b）中的磁方程中的网格分辨率。鉴于此，我们采取了相对于（7b）较好的（7a）方程进行建模。采用交错网格有限差分趋近方法使用（7），可以得到方程组的离散数组，其中是电场边界条件，是内部空间未知的电场，是对称系数矩阵（但是不是Hermitian矩阵，是对角矩阵且相对复杂）。线性方程组利用为完成的（Siripunvarapoun等于2002）对角子矩阵的分解初始条件通过似最小余量法可以得到解决。像Smith(1996)的分解校正同样能加速合并。如果的误差水低于正常水平是迭代过程自然终止。在解决了内部电场后，其表面磁场就能够根据常规方法进行计算和插值（即：通过一阶麦克斯韦方程组）。3.2 三维反演的数据和模型响应两种极化方向分别是和，都是通过正演建模算法去产生模型响应。每一极都有自己的电、磁场。两级的场通过阻抗张量Z相联系： （8）其中和是和极的电场x-分量，应该注意的是和其他场的分量相类似。此外计算任意部分的波阻抗张量时两种极化方式的场一般都需要。二维大地电磁反演的模型响应通常是从非对角矩阵关系对视电阻率和相位的计算。同样，在三维情形下，（和）的对角关系依然非常重要，并且应该包含在反演中。在下面的算法里，将满波阻抗张量的实、虚分量都进行转化。3.3 灵敏度矩阵一般而言反演算法趋近需要计算灵敏度矩阵。我们根据在Siripunvaraporn和Egbert(2000)或者Rodi(1976)描述的趋近方式使用相互关系。对于三维情况，当我们转换全阻抗张量矩阵，在每一点（并且在每一时间）的灵敏度计算都需要解决两个正演问题，每种极化方式都有一个。比如，在计算时如其他的灵敏度关系一样需要计算和。这并不像二维一样对每个灵敏度关系时只有一个正演计算。大地电磁波阻抗张量对灵敏度矩阵的数学微分就像Newman和Alumbaugh（2000）所呈现的一样。3.4 模型协方差模型协方差矩阵控制着期望的与基本模型相关的电阻率变化数量和平滑程度。在这里，Siripunvaraporn和Egbert(2000)对二维扩展到三维情形下的模型协方差比较类似。针对数据空间方法，模型协方差本身不被要求。只有在灵敏度矩阵的生成中才有要求。利用高斯相关函数得到成果和其他模型向量a能够用初始化a对分散方程的求解完成计算过程（Egbert等于1994，Siripunvaraporn和Egbert于2000）。为了避免求解三维传播方程，我们采取分别在垂直和水平方向（即在x 与y方向）分别迭代求解一维传播方程组。像简单运行出答案时的三维传播方程趋近可以观测的一样（像Press等于1992）。在所有方向的传播方程的不相关程度一直随着空间变化，同时长度范围正比于研究区域分辨率的倍，其中的（在0至1之间），未研究前给定。在以上所见得两个例子中，的值是0.2和0.1，值得注意的是，在两种情况下均是10.对选择非相关长度范围的迭代法趋近在Siripunvaraporn和Egbert(2000)中已经讨论。4 模拟数据案例及讨论为了测试三维数据空间算法，我们已经运行了两套综合数据集的反演项目。所有的计算都是在主频666MHZ和1G可用内存的机器上进行的，因此这些计算能够在常规的PC上完成其演算过程。但是由于用于反演测试的数据量和模型尺寸受到相当的限制，因此对于实际应用尚且需要更多可读内存的快速计算机。4.1 综合案例I第一套数据是从非常简单的模型（图 1）中产生的，即在100的半空间中包含一个位于地下的1（）的电导层单元。此数据包含点，其分布方式如图一所示的实心点，同时在为了在（加上个空气层）网格中解决（7a）产生的。这些复杂的波阻抗张量（）分别在时间加上了的高斯噪音。假设数据变化是在的之内。在反演中网格剖分规则是（加上个空气层）。值得注意的是对其离散化过程是不用于其产生的数据。在这个案例中，总数，而总的模型数目单元是。图1 在第一个反演案例中使用的简单模型，其实心点为指示的观测点，下面的剖面图中的长度比例不一致。反演过程是从的半空间开始，其通常是被用于反演的称作基本模型，此初始模型均方根大约是23。图2展示的是算法的合并。用一列值进行每一次迭代用以查找最小的均方根；在图上为实型线标志。注意到在最小改变的迭代时的值。实型和虚型线给出了下面将要讨论的两种变化，在三次迭代后，其反演结果已经合并到了期望的误差水平，如已经完成的图像I。同时反演过程花费了两次迭代去寻找最小标准即保持误差为目标误差（图像II）的模型。如果模型标准的变化很小时程序终止。对于图像II来说，将轻微的扰动到高值水平，同时清除不必要的模型结构。对每次迭代需要的计算时间大约是小时（如图2中的虚线），五次迭代的时间总共是小时。其中超过的计算时间 用于构造灵敏度矩阵，并花费大量的时间解决正演问题只为了得到灵敏度矩阵，用于正演答案的数目在每次迭代中大约是,其中代表取时间数目，代表点的数目。减少时间求解灵敏度矩阵需要解决正演问题就能够加快反演。为了实现正演计算的准确性，通常在常数余量小于时就终止其迭代过程。对于反演（图2中的虚线）的第一个案例我们对灵敏度矩阵采取同样的合并准则。我们将这里的灵敏度计算称为“满合并数据组”。在一个用于减小计算时间的尝试中，我们采取了最小迭代数目为40的终止条件，其常数余量为。大概需要花费迭代时间的用于满合并数据组，通常称其为松弛合并数据组。图2中的实线显示了松弛合并数据组的内容，图2 均方根随着从图1模型转换综合数据随着每次迭代过程中变化图形。当计算灵敏度矩阵时，虚线指示着满汇聚规则，而其中的实线指示着稀疏汇聚规则。对大部分的外部环线迭代，这两条线出现在各自的顶部。实线标记指示着每次迭代过程后的最小均方根值。13次迭代过程指示在图像I中，45次迭代（只画出期望误差）显示着反演结果在图像II中。从中显示使用此规则在反演输出时并没有太大影响。但是每次迭代的计算时间显著地减小到大约小时（五次大约小时）或者只有总共计算满聚合情形的。在其他合成场数据集有相似的结果。图3显示了在五次迭代后使用松弛聚合方法的最小模型标准，并满足目标误差的反演结果。图3中上面的面板显示了在、和深的表面的平面图，而下面的面板显示了通过在时中间的电导层单元的垂直剖面视图。表面视图反映了电导层单元顶部的薄阻层，在、深度时电导层清晰可见。图3显示了反演恢复了单元中电导率及其位置。由于图像效果在边角效果不明显，主要是有限位置的数量限制。此外短时数据（比如：小于）毫无意外地提高地表薄阻层分辨率。此外，在电导层底部附近的结构没有得到较好的解决。再次说明的是，长时间点数据可以研究深部结构。但是，众所周知的是电导层底部是难以通过大地电磁数据进行恢复的。其困难是固有的感应数据和对反演趋近算法并不理想。就是说，从Siripunvaraporn和Egbert(2000)或者Newman和Alumbaugh(2000)以及其他人对这个案例的描述中。在图2中得到提示，从全合并情况的转换模型与图3中的模型极为相似。与模型空间方法相比较，建立灵敏度矩阵和计算响应及误差的计算需要大致相同。其这要的差别是解决（6）或（4）中方程组的数量对每个的取值。在这个综合案例中值得注意的是，其系数矩阵大致是和维。解决将需要或更多的运行。因为对每一个都有一组必须被解决（对图像I中的每次迭代平均有四次）图3 从图1中的合成在均方根值为1时第五次迭代后的倒转模型。上面的画板（a）-(c)分别是在表面，、是的平面图，而底板（d）是横穿X=0km电导层单元的剖面图。结果在图中的异常只显示在中部区域并不在满的模型范围内。常常因此将每次迭代计算时间延长到无法接受的水平。此外，相比于数据空间方法，模型空间方法需要超过次的倍数内存时间消耗使得除非模型是在嫉妒严格规则下（Sasaki.2001）否则做模型空间的奥卡姆方法并不实际。有其他一些模型空间趋近方法并不要求计算或者存取全灵敏度矩阵，像Newman和Alumbaugh(2000)非线性共轭梯度法规则将可能更加实际。但为了找到满足特定数据及趋近误差的重复反演运行了不同的值的最小结构模型将被采取。4.2 综合案例II我们在复杂模型上也进行了反演测试，一个是与之前使用在三维正演建模研究（查阅Wannamaker于1991，Mackie等于1994，Siripunvaraporn等于2002，Avdeev等于1997）相类似。这是一个在两层地层中由电阻和电导单元组成（图4）。其中在的网格里有个观测点如图4中的实型点所示。在其中的时间点分别为的数据被转换.而全部复数波阻抗张量的转化使得总的数据点数是，同时数据增加了的噪声。反演中网格被离散化成在个单位（加上上部有个空气层），因此.用不同的网格（在）上产生数据。初始模型也即基本模型（）的初始反演值一样，均是50的板空间。其整合图形如图5所示，反演结果如图6所示（在六次迭代后）每次反演大约花费了小时，在计算灵敏度矩阵时使用了稀疏合并模式。在图5中可以看到在反演三次迭代后就达到了期望的均方根（图像I），另外花了三次迭代寻找图像II中的最小结构模型。图4 用于测试反演的另一个合成模型。在穿过平面图上电导率单元和电阻率单元的平面和剖面视图。实型点指示着观察位置。下图的比例尺不通用。图5 均方根随着从图4中生成的合成数据反演的迭代数目的变化图图6 六次迭代后的转换模型，其是由图4中生成的合成数据使得均方根值为1。上面的图板分别是在表面、深度的平时图，下图是横穿在的电导层时的剖面视图。就像图3一样其答案只是显示在模型空间的中间区域。即使是在不良好的边角和深度区域，反演也能够在10的背景值（图6）中恢复电导和电阻体。如案例I的情况类似，要是我们是在模型空间中进行反演运行，由于需要大量的计算耗时和内存使得在一般的PC机上无法使用。5 讨论与总结如前面所述的基于奥卡姆趋近的三维大地电磁反演算法里，已经能够找到满足数据的最平滑模型。同时由于从模型空间到数据空间的算法使得计算费用显著的降低，让大家能够在个人计算机上花费较短的时间转换平滑三维大地电磁数据。从前面提到的两个案例中涉及的让数据空间方法提高到显著的优势水平。一般情况下可能等于或大于，比如在研究问题中使用非常多的频率进行转化，这种情况下从计算时间上讲数据空间方面并不比模型空间方法有更多的优势。但是就像在Siripunvaraporn和Egbert(2000)上刊登的大量数据（在对列的线性相关显著数量）暗示有效的值能够在的子空间体积用严格的尝试解答获得有效的降低。这种不用考虑和值的数据子空间方法能够节约大量的计算资源。在这里讨论的数据空间趋近方法并不局限于奥卡姆反演算法（或者减少奥卡姆方法）。其他的一些反演趋近方法也可能结合或使用到数据空间等式，比如它不需要计算并存储满秩灵敏度和垂直生成矩阵。在共轭梯度法的模糊向量进行灵敏度矩阵的复化能够用几个正演问题得到解决（不用计算和存储灵敏度矩阵，Mackie和Madden于1993）能够在数据空间得到方程解决。像这样的数据空间共轭梯度规则使用于更多更大的反演问题。与模型空间的共轭梯度反演法相比，转换到数据空间的待解决方程组能够有效的解决。在海洋地貌数据同化问题中用数据空间的共轭梯度法趋近比模型空间趋近（Bennett等于1997，Egbert于1997，Chua和Bennett于2001）更加稳定且有效率。因此在大地电磁反演中采用共轭梯度趋近法在数据空间变化值得考虑。考虑到共轭梯度法和非线性共轭梯度规则只会考虑到固定时的情形。对于奥卡姆反演算法的一般如（4）、（6）方程组在每次线性化步长（用于寻找最小误差或最小的标准模型）的多次运算中通过解决的共轭梯度趋近也可能并不实用。因此数据空间等式可能是在三维奥卡姆规则中的唯一实用方法。此外，目前趋势下，将共轭梯度法、奥卡姆方法和其他可能的趋近法数据空间法的正演技术结合起来的混合趋近法尚待深入研究。在我们研究三维大地电磁反演问题有效性和自动化效率时，应该将此讨论的数据空间法优先考虑。致谢这次研究在神州研究基金（TRF:PDF/37/2543）对W.S.的大力支持下,在DOE-FG0302ER15318对G.E.的支持，从JSPS前博士论文（P02053）和从日本(02053)的MEXT发表在W.S.和M.U.W.S.中，采用大量的文章构成了本文部分。感谢玛希隆大学提供去美国Santa Fe参加XVI研究生系和科学系，同时感谢感性工作委员会提供注册费用。作者要感谢滴咪和玉季对本文的录入提供帮助。附录A从方程（4），表述如下：其中。经此可以得到方程（5）。在（A1）的微分中，我们通常规定：。目录参考文献Avdeev,D.B.,Kuvshioov,Pankratov,O.V.,Newman,G.A.2002.三维感应测井问题.第一部分.整合方程解答与模型对比地球物理学报,67:413-426Avdeev,D.B.,Kuvshioov,Pankratov,O.V.,Newman,G.A.1997.高效率运行修正的三维电磁建模，宽带数字解与实例.地球电磁学,49:1519-1539Bennett,A.G.,Chua,B.S.,Leslie,L.M.,1997.全球数字温度初始条件模型的一般反演.大气物理学报,60:165-178Chua,B.S.,Bennett,A.F.,2001.一种反演海洋建模方法.海洋模型,3:137-165Consbable,C.S.,Parker,R.L.,Consbable,C.B.,1987.奥卡姆反演:从大地电磁接收数据中得到平滑模型的一种实用算法.地球物理学报,52:289-300deGroot-Hedlin,C,Constable,s.,1990年，用奥卡姆反演从大地电磁数据中生成平滑的二维模型.地球物理学报,55:1613-1624Egbert,G.D.,Bennett,A.F.,Foreman,M.G.,1994.实用全球反演模型从事位置评估.地球物理学杂志,99:24821-24852Egbert,G.D.,1997.潮间数据反演:插值与参考.海洋管理计划,40,53-80Fartuharson,C.G.,Oldenbulg,D.W.,Haber,E.,Shekhtman,RL,2002.大地电磁数据的三维正演建模与反演算法.位于:在电磁数据的第16号工作间处理.新墨西哥,六月:16-22Mackie,R.L.,Madden,T.R.,1993.应用共轭梯度法进行三维大地电磁反演.地球物理学杂志.115:215-229Mackie,R.L.,Smith,J.T.,1994.在三维电磁建模中应用有限差分方程.大地电磁实例.科学声音,29:923-935Newman,G.A.,Alumbugh,D.L.,2000.应用非线性共轭梯度法进行三维大地电磁反演.地球物理杂志,140；410-424Parker,R.L.,1994.地球物理反演理论.普林斯顿