1.3.3最大值与最小值

第一章导数及其应用 1 3 3函数的最大值与最小值 数学组蒙华鑫 如果在函数f x 定义域I内存在一点x0 使得对任意的x I 总有 那么称f x0 为函数的定义域上的最大值 如果在函数f x 定义域I内存在一点x0 使得对任意的x I 总有 那么称f x0 为函数在定义域上的最小值 1 函数最值的概念 f x f x0 f x f x0 复习与引入 2 极值的概念函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a的左侧f x 0 右侧f x 0 则f a 叫做函数y f x 的极小值 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b的左侧f x 0 右侧f x 0 则f b 叫做函数y f x 的极大值 3 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质 而不是函数在整个定义域内的性质 极大值点 极小值点 你能说出函数的最大值点和最小值点吗 最大值点 a 最小值点 d 1 观察区间 a h 上函数y f x 的图象 你能找出它的极大值点 极小值点吗 相对于极值来说我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大 哪个值最小 那么 我们本节课就来学习函数的最大 小 值与导数 小组讨论完成学案第2 3页内容 答案没有 2 函数f x lnx在 1 2 上有最值吗 答案有最大值ln2 最小值0 2 思考 反思与感悟一般地 在闭区间 a b 上的连续函数f x 必有最大值与最小值 在开区间 a b 内的连续函数f x 不一定有最大值与最小值 1 求函数y f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 3 利用导数求函数的最值的步骤 最大值 最小值 例1求函数f x x3 2x2 1在区间 1 2 上的最大值与最小值 跟踪训练1设函数f x ax3 bx c a 0 为奇函数 其图象在点 1 f 1 处的切线与直线x 6y 7 0垂直 导函数f x 的最小值为 12 1 求a b c的值 2 求函数f x 在 1 3 上的最大值和最小值 2 若对x 1 2 不等式f x c2恒成立 求c的取值范围 跟踪训练2已知f x 2ax x 0 1 1 若f x 在 0 1 上是增函数 求a的取值范围 2 求f x 在区间 0 1 上的最大值 当堂检测 1 2 3 4 5 1 函数y f x 在区间 a b 上的最大值是M 最小值是m 若M m 则f x A 等于0B 大于0C 小于0D 以上都有可能 解析据题f x 为常数函数 故f x 0 A 解析答案 1 2 3 4 5 2 函数f x x3 3x 1在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 A 1 1B 1 17C 3 17D 9 19 解析答案 1 2 3 4 5 答案C 解析f x 3x2 3 令f x 0 即3x2 3 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以f x 在x 1处取得极大值 f x 极大值 3 在x 1处取得极小值 f x 极小值 1 而端点处的函数值f 3 17 f 0 1 比较可得f x 的最大值为3 最小值为 17 1 2 3 4 5 3 函数f x x3 3x x 1 A 有最大值 但无最小值B 有最大值 也有最小值C 无最大值 但有最小值D 既无最大值 也无最小值 解析答案 D 解析f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上是单调递减函数 无最大值和最小值 故选D 1 2 3 4 5 解析答案 A B C D A 解析f x ex sinx cosx 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知f x 2x3 6x2 a a为常数 在 2 2 上有最小值3 那么f x 在 2 2 上的最大值是 43 解析令f x 6x2 12x 0 解得x 0或x 2 当x 2 0 时 f x 0 当x 0 2 时 f x 0 x 2 0 2对应的f x 的值分别为a 40 a a 8 因为a 40 a 8 a 所以a 40为最小值 a为最大值 则a 40 3 a 43 故f x 在 2 2 上的最大值是43 课堂小结 返回 1 求解函数在固定区间上的最值 在熟练掌握求解步骤的基础上 还需注意 对函数进行准确求导 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 比较极值与端点函数值的大小时 有时需要利用作差或作商 甚至要分类讨论 2 解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题 如 f x m恒成立