《逻辑代数基础》PPT课件.ppt

2020 2 17 1 第二章逻辑代数基础 本章要点2 1概述2 2逻辑代数中的三种基本运算2 3逻辑代数的基本公式和常用公式2 4逻辑代数的基本定理2 5逻辑函数及其表示方法2 6逻辑函数的化简方法2 7具有无关项的逻辑函数及其化简作业 2020 2 17 2 本章要点 基本概念基本定理和法则逻辑函数的表示形式逻辑函数的化简 返回 2020 2 17 3 2 1概述 逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的 1849年 英国数学家乔治 布尔 G Boole 布尔代数 1938年 克劳德 向农 C E Shannon 开关代数 二值逻辑0和1逻辑运算 两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的运算 返回 2020 2 17 4 2 2逻辑代数中的三种基本运算 1 与 运算 AND 真值表 设 表达式 Y A B 图形符号 与逻辑功能口诀 有 0 出 0 全 1 出 1 2020 2 17 5 2 或 运算 OR 真值表 设 表达式 Y A B 图形符号 或逻辑功能口诀 有 1 出 1 全 0 出 0 2020 2 17 6 3 非 运算 NOT 真值表 设 表达式 Y A 图形符号 2020 2 17 7 4 复合逻辑运算 真值表 1 与非 NAND 表达式 Y A B 图形符号 与非逻辑功能口诀 有 0 出 1 全 1 出 0 2020 2 17 8 真值表 2 或非 NOR 图形符号 或非逻辑功能口诀 有 1 出 0 全 0 出 1 2020 2 17 9 真值表 3 与或非 AND OR NOT 图形符号 2020 2 17 10 异或逻辑功能口诀 同为 0 异为 1 4 异或 XOR 真值表 表达式 图形符号 2020 2 17 11 同或逻辑功能口诀 异为 0 同为 1 5 同或 XNOR 真值表 表达式 图形符号 注 同或和异或互为反运算 2020 2 17 12 5 集成电路 集成电路 IntegratedCircuit IC 是一种完全在由半导体材料 通常是硅 构成的微小芯片上制作的电子电路 双列直插式封装 DualIn LinePackage DIP 表贴式 Surface MountTechnology SMT 小型IC封装 Small OutlineIC SOIC IC封装种类 2020 2 17 13 返回 2020 2 17 14 2 3逻辑代数的基本公式和常用公式 0 1律 重叠律 互补律 还原律 分配律 结合律 交换律 2020 2 17 15 反演律 吸收律 冗余律 在两个乘积项中 若有一个变量是互反的 那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的 可以消去 公式可推广 2020 2 17 16 例 用真值表证明反演律 0001011 0111 1000 1100 1010 1000 证明 2020 2 17 17 求证 A BC A B A C 证明 右边 AA AB AC BC 分配律 A A B C BC 分配律 重叠律 A 1 B C BC 分配律 A 1 BC 0 1律 A BC 0 1律 左边 2020 2 17 18 分配律 分配律 0 1律 右边 2020 2 17 19 证明 返回 2020 2 17 20 2 4逻辑代数的基本定理 2 4 1代入定理 任何一个含有某变量的等式 如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式 则此等式依然成立 A B A B 得 由此反演律能推广到n个变量 利用反演律 2020 2 17 21 2 4 2反演定理 对于任意一个逻辑函数式Y 做如下处理 运算符 与 互换 常量 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量 那么得到的新函数式称为原函数式Y的反函数式Y 注意 遵守 括号 乘 加 即括号 与 或 的运算优先次序 必要时适当地加入括号 非号保留 而非号下面的函数式按反演规则变换 不属于单个变量上的非号处理办法 2020 2 17 22 法1 利用反演规则直接得到 求Y 例 法2 利用反演律 2020 2 17 23 2 4 3 对偶定理 对于任意一个逻辑函数式Y 做如下处理 运算符 与 互换 常量 0 换成 1 1 换成 0 那么得到的新函数式称为原函数式F的对偶式YD 注意 运算顺序不变 只变换运算符和常量 其变量是不变的 对偶定理 若两逻辑式相等 则它们对应的对偶式也相等 即若Y1 Y2 则Y1D Y2D 2020 2 17 24 如 返回 2020 2 17 25 2 5逻辑函数及其表示方法 2 5 1逻辑函数 逻辑函数与普通代数中的函数相似 它是随自变量的变化而变化的因变量 因此 如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果 那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述 数字电路的输入 输出量一般用高 低电平来表示 高 低电平也可以用二值逻辑1和0来表示 同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系 因此它可以用逻辑函数来描述 并称为逻辑电路 对于任何一个电路 若输入逻辑变量A B C 的取值确定后 其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了 则可以称F是A B C 的逻辑函数 并记为Y F A B C 2020 2 17 26 2 5 2逻辑函数的表示方法 举重裁判表决电路 例 A B C 输入变量Y 输出变量1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 一 真值表 2020 2 17 27 举重裁判表决电路 例 A B C 输入变量Y 输出变量1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 二 逻辑函数式 分析得 2 5 2逻辑函数的表示方法 2020 2 17 28 三 逻辑图 将逻辑函数中各变量之间的与 或 非等逻辑关系用图形符号表示出来 就可画出表示函数关系的逻辑图 例 用逻辑图描述函数 2020 2 17 29 四 波形图 将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来 就得到表示该逻辑函数的波形图 2020 2 17 30 五 各种表示方法间的相互转换 1 真值表与逻辑函数式的相互转换 例 根据举重裁判表决电路的真值表写出它的逻辑函数式 解 由真值表可以看出输入变量为以下三种取值的时候 Y等于1 A 1 B 0 C 1A 1 B 1 C 0A 1 B 1 C 1 因此 Y的逻辑函数式为 Y AB C ABC ABC 2020 2 17 31 由上例可以总结出由真值表写出逻辑函数式的方法 1 首先从真值表中找出所有使函数值等于1的那些输入变量的取值组合 2 每一组使输出为1的变量取值的组合对应一个乘积项 其中取值为1的写入原变量 取值为0的写入反变量 3 将这些乘积项相加 即得输出变量Y的逻辑函数式 2020 2 17 32 例2 5 1 已知一个奇偶判别函数的真值表如下表所示 试写出它的逻辑函数式 解 由真值表可以看出Y等于1时输入变量的取值组合为 因此 Y的逻辑函数式等于这四个乘积项之和 2020 2 17 33 例2 5 2 已知逻辑函数式Y A B C A BC 求其真值表 解 将A B C的各种取值逐一代入Y式中计算 将计算结果列表 即得下表所示的真值表 2020 2 17 34 2 逻辑函数式与逻辑图的相互转换 1 逻辑图形符号 逻辑运算符号 2 运算优先顺序 注意 例2 5 3 已知逻辑函数式Y A B C A BC C 画出其对应的逻辑图 2020 2 17 35 例2 5 4 已知函数的逻辑图如下图所示 试求出它的逻辑函数式 从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式 即可得到对应的逻辑式 2020 2 17 36 例 2020 2 17 37 3 波形图与真值表的相互转换 例2 5 5 已知逻辑函数Y的波形图如下图所示 试求该逻辑函数的真值表 2020 2 17 38 2 5 3逻辑函数的两种标准形式 一 最小项和最大项 1 最小项 特征 1 乘积项 2 包含全部变量 3 以原变量或反变量的形式只出现一次 在n变量逻辑函数中 若m为包含n个因子的乘积项 而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次 则称m为该组变量的最小项 2020 2 17 39 例 n 3 对A B C 有8个最小项 2020 2 17 40 最小项的性质 1 最小项为 1 的取值唯一 2 任意两个最小项之积为 0 4 全部最小项之和为 1 3 相邻两个最小项可合并 2020 2 17 41 最小项表达式 例1 三人表决电路 m3 m5 m6 m7 m 3 5 6 7 全部由最小项构成的 与或 表达式为最小项表达式 标准 与或 表达式 2020 2 17 42 例 写出的最小项之和式 最小项之和式为 解 2020 2 17 43 例2 5 6 将逻辑函数Y AB C D A CD AC展开为最小项之和的形式 解 或写作 2020 2 17 44 2 最大项 特征 1 或项 2 包含全部变量 3 以原变量或反变量的形式只出现一次 在n变量逻辑函数中 若M为n个变量之和 而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次 则称M为该组变量的最大项 2020 2 17 45 例 n 3 对A B C 有8个最大项 2020 2 17 46 最大项的性质 1 最大项为 0 的取值唯一 2 任意两个最大项之和为 1 3 全部最大项之积为 0 2020 2 17 47 最大项表达式 全部由最大项构成的 或与 表达式为最大项表达式 标准 或与 表达式 例2 5 7 将逻辑函数Y A B AC展开为最大项之积的形式 解 或写作 2020 2 17 48 3 最小项和最大项的关系 1 相同i的最小项和最大项互补 2 例 互为对偶式 F m3 3 5 6 7 F M3 0 1 2 4 2020 2 17 49 2 5 4逻辑函数形式的变换 1 与或 形式与 与非 与非 形式 解题方法 利用反演定理将整个与或式两次求反 例 将下面的逻辑函数化为与非 与非形式 解 2020 2 17 50 2 与或 形式与 与或非 形式 例2 5 8 将下面的逻辑函数化为与或非形式 解 将Y 化成 与或 形式 冗余项 返回 2020 2 17 51 2 6逻辑函数的化简方法 2 6 1公式化简法 同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式 逻辑函数式越简单 它所表示的逻辑关系越明显 也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数 最简 与或 式的标准 含的与项最少 门最少 各与项中的变量数最少 门的输入端最少 以后主要讨论 与或 式的化简 其中 最常用的为 与或 逻辑表达式 2020 2 17 52 1 并项法 例 用并项法化简下列逻辑函数 解 2020 2 17 53 解 解 2020 2 17 54 2 吸收法 消项法 例 用吸收法化简下列逻辑函数 解 2020 2 17 55 3 消因子法 例 用消元法化简下列逻辑函数 解 2020 2 17 56 4 配项法 例 用配项法化简下列逻辑函数 解 2020 2 17 57 解 解 2020 2 17 58 解法1 解法2 公式化简法优点 不受变量数目的限制 缺点 没有固定的步骤可循 需要熟练运用各种公式和定理 在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验 有时很难判定化简结果是否最简 由上例可知 逻辑函数的化简结果不是唯一的 2020 2 17 59 2 6 2卡诺图化简法 一 逻辑函数的卡诺图表示法 1 卡诺图 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示 并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来 所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图 2020 2 17 60 2020 2 17 61 相邻两个编码之间只有一位数不同 而且首尾两个编码之间也只有一位数不同 这种编码叫循环码 2位循环码 00 01 11 103位循环码 000 001 011 010 110 111 101 100特点 每次只变一位 因此是高可靠性编码 用在卡诺图上 可以消去最小项的多余变量 循环码是无权码 而且不是唯一的编码 如 01 00 10 11同样具有2位循环码的性质 循环码 2020 2 17 62 2 用卡诺图表示逻辑函数 首先将逻辑函数化为最小项之和的形式 然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1 在其余的位置上填入0 就得到了表示该逻辑函数的卡诺图 例2 6 8 用卡诺图表示逻辑函数 解 将逻辑函数化简为最小项之和的形式 2020 2 17 63 二 用卡诺图化简逻辑函数 化简原理 具有相邻性的最小项可以合并 并消去不同的因子 几何位置相邻的最小项与逻辑上也相邻 1 合并最小项的原则如果有2n个最小项相邻 n 1 2 并排列成一个矩形组 则它们可以合并为一项 并消去n对因子 合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子 2020 2 17 64 任何一个合并圈 即卡诺圈 所含的方格数为2n个 必须按照相邻规则画卡诺圈 几何位置相邻包括三种情况 一是相接 即紧挨着的方格相邻 二是相对 即一行 或一列 的两头 两边 四角相邻 三是相重 即以对称轴为中心对折起来重合的位置相邻 2n个方格合并 消去n个变量 2020 2 17 65 例 2020 2 17 66 例 2020 2 17 67 2 卡诺图化简法的步骤化简步骤 1 将函数化为最小项之和的形式 2 画出表示该逻辑函数的卡诺图 3 找出可以合并的最小项 4 选取化简后的乘积项 选取原则 a 乘积项中应包含函数式中所有的最小项 包含所有1 b 所用的乘积项项目最少 组成的矩形组数目最少 c 每个乘积项包含的因子最少 矩形组中最小项最多 2020 2 17 68 画出逻辑函数的卡诺图 圈 1 合并相邻的最小项 将每一个圈对应的与项相或 即得到最简与或式 尽量画大圈 但每个圈内只能含有2n n 0 1 2 3 个相邻项 要特别注意对边相邻性和四角相邻性 圈的个数尽量少 卡诺图中所有取值为 1 的方格均要被圈过 即不能漏下取值为 1 的最小项 保证每个圈中至少有一个 1格 只被圈过一次 否则该圈是多余的 画圈原则 1 最简与或式的求法 画出逻辑函数的卡诺图 圈 1 合并相邻的最小项 将每一个圈对应的与项相或 即得到最简与或式 2020 2 17 69 例 用卡诺图将函数化为最简与或式 解 化简结果不唯一 2020 2 17 70 例 用卡诺图将下面函数化为最简与或式 解 2020 2 17 71 有时也可以通过卡诺图中的0先求出Y 的化简结果 然后再将Y 求反得到Y 2020 2 17 72 2 最简或与式的求法 画出逻辑函数的卡诺图 圈 0 合并相邻的最大项 将每一个圈对应的或项相与 即得到最简或与式 圈 0 合并与圈 1 合并类同 或项由卡诺圈对应的没有变化的那些变量组成 当变量取值为 0 时写原变量 取值为 1 时写反变量 注意 2020 2 17 73 例 用卡