第4章 转动参照系.doc

第四章 转动参照系4.1 平面转动参照系考虑一旋转的平面参照系，记为（如平板），其角速度沿轴，其原点与静止坐标系：的原点重合。令单位矢量、固着在平板上的轴和轴上，可表为。再考虑平板上的运动质点，站在系上看，其位矢为 ， （4.1.1）而站在系上看，即为： 。 （4.1.1）由极坐标下的公式（即1.2.8）可得 ， （4.1.2）对（4.1.1）关于求导，得质点对静坐标系的速度（不是对动坐标系平板，因为对于平板而言，有）为 （4.1.3）其中应为相对速度（即对转动参照系而言）；应为牵连速度（），故可把式（4.1.3）写为 。 （4.1.4）此与刚体力学中的公式比较可见此处多出了相对速度这一项，原因是刚体那里质点间没有相对运动。还可求得点对静止坐标系的加速度： （4.1.5）其中为相对加速度；为平板转动引起的向心加速度；为平板作变角速转动引起的切向加速度（匀速转动时为0）；向心加速度 + 切向加速度 = 牵连加速度；为科里奥利加速度。故（4.1.5）式又可写成 （4.1.6）或简写为 。 （4.1.7）其中：（相对加速度）；（牵连加速度）；（科里奥利加速度）。分析一下科氏加速度是怎样产生的：在静系上看来，牵连运动（即）可使相对速度发生改变，而相对运动（即）又同时使牵连速度中的发生改变。换言之，即科氏加速度是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的。可见，转动参照系有别于平动参照系，前者多出了一种新的所谓科氏加速度。4.2 空间转动参照系现讨论更一般的空间转动参照系。令转动坐标系的原点与静止坐标系的原点重合，、为系上的单位矢量。任一矢量在系上可写为 （4.2.1）在静系上看到的的变化率应为 （4.2.2）又，有 （4.2.3）（4.2.3）代入（4.2.2），得 （4.2.4）其中是、固定不动时的变化率，称为相对变化率（或地方变化率），它表示相对于的变化率；另一部分则是由于参照系转动并带动一起转动所产生的牵连变化率。由（4.2.4）知 （4.2.5）式中为质点相对于系的相对速度；是系转动所产生的牵连速度。再求绝对加速度，类似于上有 （4.2.6）将（4.2.5）代入（4.2.6），得 + （4.2.7）又以表示相对加速度，则有：；另外又有 （4.2.9）故（4.2.7）式可改写成 （4.2.10）由二重外积公式：其中可见这里比（4.16）式（即）更复杂。特例：当系以匀角速度转动时，（为点垂直引向转动轴的矢量）。这时方程（4.2.10）简化为 。 （4.2.12）推广到更一般情形，即系的原点与系的原点不重合，且有速度和加速度时，则有和（这时是牵连速度的一部分，即属于之中；是牵连加速度的一部分，即属于之中。此外注意应改写为）。【注意】：“绝对”矢量都是在静系中看到的，若从动系上看，只能看到“相对”矢量。4.3 非惯性系动力学（二）（1）平面转动参照系上两节所讲的转动参照系就属于非惯性参照系，当然转动参照系只是非惯性系的一种。对这种参照系，牛顿运动定律不成立，因为。虽然如此，但在1.6中我们已知，对非惯性系，只要将牵连部分作为牵连力（即惯性力），那么牛顿定律在形式上就仍然成立。本节研究转动参照系中的动力学，主要问题就是转动参照系中惯性力应当如何表达。本段在平面转动参照系上研究问题。已知（4.1.6）： (4.3.1) (4.3.2)可见对于平面转动参照系而言，如果添上三种惯性力，那么牛顿定律形式上仍对系成立。这三种惯性力就是：由变角速转动引起的“变角速惯性力”： ；由系转动引起的“惯性离心力”： ；由系转动及质点相对系运动引起的“科里奥利力”：。（2）空间转动参照系对于空间转动坐标系，与上述平面转动参照系类似，它也是非惯性参照系，故也要加上适当的惯性力后，牛顿定律才能形式上成立。由（4.2.10）式（即）可知，当系的原点和系的原点重合，并且绕点以角速度转动，且不一定为恒矢量时，则 （4.3.3）设质点质量为，受力为，则因，所以若将上式乘一，就可得 （4.3.4）或 （4.3.5）可见，因的转动，也产生了三种惯性力： 变角速惯性力： 惯性离心力： 科里奥利力： 如果系以匀角速度转动，则由式（4.2.12）（即）可得 。 (4.3.6)进一步，考虑更一般的情况。如果系的原点不与系的原点重合，且对的加速度为，则由上节可得 (4.3.7)（3）相对平衡若质点固于系不动 物理意义：如果在非惯性系中看到质点是平衡的（不动），则一定是主动力与牵连惯性力（包括平动惯性力、变角速惯性力、瞬时惯性离心力）以及还可能存在着的约束反力相平衡。4.4 地球自转所产生的影响（1）惯性离心力地球有公转和自转，属非惯性参照系；公转角速度很小，所产生的惯性离心力，约与太阳引力抵消；自转角速度也很小（7.310-5弧度/秒），但却产生了一些可以观察到的现象；考虑地球自转，可认为角速度为恒矢（即），故可忽略变角速惯性力。还进一步，若质点相对于地球静止（即），则又可忽略科里奥利力，因此这种情况下只需考虑剩下的惯性离心力。因重力=引力+离心惯性力，故惯性离心力的作用常使重力小于引力。（2）科里奥利力