2013中考几何题汇编（91题）.doc

湖北襄阳市47中 朱弟华 2013中考几何部分汇编（91题）ANCBDEFMOO1、如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF。（1） 求证：ODBE;(2) 猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由。2如图，AB是O的直径，PA，PC分别与O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E。（1）求证：EPD=EDO（2）若PC=6，tanPDA=，求OE的长。3在ABC中，AB=AC，BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD。（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值。4.如图，在ABC中，以AB为直径的O交AC于点M，弦MNBC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=（1）求证BC是O的切线；（2）求的长。5.如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，B=45，P是BC边上一点，PAD的面积为，设AB=，AD=（1）求与的函数关系式；（2）若APD=45，当时，求PBPC的值；（3）若APD=90，求的最小值。6如图，在矩形纸片ABCD中，AB=+1，AD=（1）如图，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为；（2）如图，再将四边形BCED沿DE向左翻折，压平后得四边形BCED，BC交AE于点F，则四边形BFED的面积为；（3）如图，将图中的AED绕点E顺时针旋转角，得AED，使得EA恰好经过顶点B，求弧DD的长（结果保留）解：（1）ADE反折后与ADE重合，AD=AD=DE=DE=，AE=；（2）由（1）知AD=，BD=1，将四边形BCED沿DE向左翻折，压平后得四边形BCED，BD=BD=1，由（1）知AD=AD=DE=DE=，四边形ADED是正方形，BF=AB=1，S梯形BFED=（BF+DE）BD=（1+）1=；（3）C=90，BC=，EC=1，tanBEC=，BEC=60，由翻折可知：DEA=45，AEA=75=DED，=2=故答案为：；7如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿AOD和DA运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动设运动时间为t秒（1）求菱形ABCD的周长；（2）记DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得DPO=DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由解：（1）在菱形ABCD中，ACBDAD=50菱形ABCD的周长为200（2）过点M作MPAD，垂足为点P当0t40时，如答图1，sinOAD=，MP=AMsinOAD=tS=DNMP=tt=t2；当40t50时，如答图2，MD=70t，sinADO=，MP=（70t）SDMN=DNMP=t（70t）=t2+28t=（t35）2+490S=当0t40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480当40t50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480综上所述，S的最大值为480（3）存在2个点P，使得DPO=DON方法一：如答图3所示，过点N作NFOD于点F，则NF=NDsinODA=30=24，DF=NDcosODA=30=18OF=12，tanNOD=2作NOD的平分线交NF于点G，过点G作GHON于点H，则FG=GHSONF=OFNF=SOGF+SOGN=OFFG+ONGH=（OF+ON）FGFG=，tanGOF=设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：DPK=DPO=DON=FOGtanDPK=，PK=根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P存在两个点P到OD的距离都是方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN过点N作NGOD，NHEF，垂足分别为G，H当t=30时，DN=OD=30，易知DNGDAO，即NG=24，DG=18EF垂直平分OD，OE=ED=15，EG=NH=3设OI=R，EI=x，则在RtOEI中，有R2=152+x2 在RtNIH中，有R2=32+（24x）2 由、可得：PE=PI+IE=根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P也满足条件存在两个点P，到OD的距离都是（注：只求出一个点P并计算正确的扣（1分）GEABCDF（第25题图）8.在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EFAC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB. 设k（1）证明：BGF是等腰三角形；（2）当k为何值时，BGF是等边三角形？（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立利用上述结论，探究：当BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围.解（1）证明：EFAC于点F，AFE=90又在RtAEF中，G为斜边AE的中点，GEABCDF（第25题图）2分在RtABE中，同理可得3分GF=GB则BGF为等腰三角形4分（2）解：当BGF为等边三角形时，BGF=60GF=GB=AG，BGE=2BAE，FGE=2CAEBGF=2BAC BAC=306分ACB=60 当k=时，BGF为等边三角形8分（3）解：由（1）得BGF为等腰三角形，由（2）得BGF=2BAC当BGF为锐角三角形时，BGF90，BACBC，k=19分当BGF为直角三角形时，BGF=90，BAC=45此时AB =BC，k=110分当BGF为钝角三角形时，BGF90，BAC45此时ABBC，k=111分0k112分9.在RtABC，C=90，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DMDN作MFAB于点F，NEAB于点E（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若ACBC如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明解（1）证明：若AC=BC，则ABC为等腰直角三角形，如答图1所示，连接OD，则CDAB，又DMDN，1=2在AND与CDM中，ANDCDM（ASA），DM=DN4+1=90，1+3=90，4=3，1+3=90，3+5=90，1=5，在NED与DFM中，NEDDFM（ASA），NE=DFANE为等腰直角三角形，AE=NE，AE=DF（2）答：AE=DF证法一：由（1）证明可知：DENMFD，即MFEN=DEDF同理AENMFB，即MFEN=AEBFDEDF=AEBF，（ADAE）DF=AE（BDDF），ADDF=AEBD，AE=DF证法二：如答图2所示，过点D作DPBC于点P，DQAC于点QD为AB中点，DQ=PC=PB易证DMFNDE，易证DMPDNQ，；易证AENDPB，AE=DF答：DF=kAE证法一：由同理可得：DEDF=AEBF，（AEAD）DF=AE（DFBD）ADDF=AEBDBD=kADDF=kAE证法二：如答图3，过点D作DPBC于点P，DQAC于点Q易证AQDDPB，得，即PB=kDQ由同理可得：，；又，DF=kAE10如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB（1）求证：BCPDCP；（2）求证：DPE=ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图），若ABC=58，则DPE=58度解答：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，BCPDCP，CBP=CDP，PE=PB，CBP=E，DPE=DCE，1=2（对顶角相等），1801CDP=1802E，即DPE=DCE，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC；（3）解：与（2）同理可得：DPE=ABC，ABC=58，DPE=58故答案为：5811.如图，在O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E（1）若OC=5，AB=8，求tanBAC；（2）若DAC=BAC，且点D在O的外部，判断直线AD与O的位置关系，并加以证明12.如图1，在OAB中，OAB=90，AOB=30，OB=8以OB为边，在OAB外作等边OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；第26题图图1AOBCDE图2GFAOBC（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长OGABCFCOBADMEN13如图，直线MN交O于A、B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径14.已知AB是O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.(1)当OC=时（如图12），求证：CD是O的切线；（2）当OC时，CD所在直线于O相交，设另一交点为E，连接AE.当D为CE中点时，求ACE的周长;连接OD,是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AEED的值；若不存在，请说明理由。15.图9为学校运动会终点计时台侧面示意图，已知： 米，米， .（1）求的长度.GABCDE图10（2）如图10，为了避免计时台和的位置受到与水平面成角的光线照射，计时台上方应放直径是多少米的遮阳伞(即求DG长度)？ABCDE图916.如题24图，O是的外接圆，弦BD=BA，AB=12，BC=5，交DC的延长线于点E.（1）求证：；（2）求DE的长；（3）求证：BE是O的切线. 17.有一副直角三角板，在三角板ABC中，AB=AC=6，在三角板DEF中，DF=4，.将这副直角三角板按如题25图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.（1）如题25图（2），当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则 度；（2）如题25图（3），当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长;（3）在三角板DEF运动过程中，设，两块三角板重叠部分的面积为，求与的函数解析式，并求出对应的取值范围. 解、（1）15（2）AFCDFE， （3）解：当0 x 2时，过点M作MNAB于点N，则MN=当2 x 时，过点M作MNAB于点N，则MN=当 x 6时， 综上：18如图，在ABC中，的平分线AD交BC于D，过点D作DEAD交AB于E，以AE为直径作O.第25题图 （1）求证：点D在O上； （2）求证：BC是O的切线；（3）若,，求的面积.19.已知：如图，在菱形中，是上任意一点，连接交对角线于点，连接. （1）求证：；（5分）（2）当，时，点在线段上的什么位置？说明理由.（5分） 20如图，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点落在点处，点落在点处，直线交于点，交于点（1）求证：=；（2）若的面积与的面积比为3 ：1，求的值21如图，在中，,动点、从点同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点、移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动连接、，设移动时间为（单位：秒，）（1）当为何值时，以、为顶点的三角形与相似？（2）是否存在某一时刻，使四边形的面积有最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由解: (1)解：由以、为顶点的三角形与相似，分两种情况： 若，则, ，. 若，则, ，(不合题意，舍去). 当时，以、为顶点的三角形与相似.(2) 过作,垂足为. ,即， ，有最小值当时，有最小值答：当时，四边形的面积最小，的有最小值是.22（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE求证：BCPDCE；（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC点G是FC与BP的交点若CD=2PC时，求证：BPCF；若CD=nPC（n是大于1的实数）时，记BPF的面积为S1，DPE的面积为S2求证：S1=（n+1）S2证明：（1）在BCP与DCE中，BCPDCE（SAS）（2）CP=CE，PCE=90，CPE=45，FPD=CPE=45，PFD=45，FD=DPCD=2PC，DP=CP，FD=CP在BCP与CDF中，BCPCDF（SAS）FCD=CBP，CBP+BPC=90，FCD+BPC=90，PGC=90，即BPCF证法一：设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CDCP=n1易知FDP为等腰直角三角形，FD=DP=n1S1=S梯形BCDFSBCPSFDP=（BC+FD）CDBCCPFDDP=（n+n1）nn1（n1）2=（n21）；S2=DPCE=（n1）1=（n1）n21=（n+1）（n1），S1=（n+1）S2证法二：ADBE，FDPECP，=，S1=SBEF如下图所示，连接BDBC：CE=CD：CP=n，SDCE=SBED，DP：CP=n1，S2=SDCE，S2=SBEDADBE，SBEF=SBED，S1=（n+1）S223、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作 MGEF交线段BC于点G，求证：GEF是等腰直角三角形（3）如图3，若AB=，过点M作 MGEF交线段BC的延长线于点G 直接写出线段AE长度的取值范围；判断GEF的形状，并说明理由解：（1）证明：如图1,在矩形ABCD中，EAM=FDM=90，AME=FMDM是AD的中点，AM=DM，AEMDFM（ASA）AE=DF2分（2）证明：如图2，过点G作GHAD于H，A=B=AHG=90，四边ABGH为矩形，AME+AEM=90，MGEF，GME=90AME+GMH=90AEM=GMHAD=4，M是AD的中点AM=2四边ABGH为矩形，AB=HG=2AM=HGAEMHMG（AAS）ME=MGEGM=45由（1）得AEMDFM，ME=MFMGEF，GE=GFEGF=2EGM=90GEF是等腰直角三角形 （3 ）当C、G重合时，如图4，四边形ABCD是矩形，A=ADC=90，AME+AEM=90MGEF，EMG=90AME+DMC=90，AEM=DMC，AEMDMC，AE=当E、B重合时，AE最长为，AE7分（注：此小问只需直接写出结果即可）如图3，GEF是等边三角形证明：过点G作GHAD交AD延长线于点H，A=B=AHG=90，四边形ABGH是矩形GH=AB=2MGEF，GME=90AME+GMH=90AME+AEM=90，AEM=GMH又A=GHM=90，AEMHMG在RtGME中，tanMEG=MEG=60由（1）得AEMDFMME=MFMGEF， GE=GFGEF是等边三角形9分24 已知：ABD和CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC 和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G (1)如图l，求证：EAF=ABD； (2)如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，MBF= BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论25已知，在ABC中，BAC=90，ABC=45，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC求OC的长度26如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作O，过点P作O的切线，交AD于点F，切点为E.求证：OFBE；设BP=，AF=，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使EFOEHG(E、F、O与E、H、G为对应点)，如果存在，试求中和的值，如果不存在，请说明理由.DCABEDCBAGOMPFOMPF EH（图1）（图2）解（1）证明：连接OEFE、FA是O的两条切线FAO=FEO=90FO=FO，OA=EORtFAORtFEOAOF=EOF=AOEAOF=ABEOFBE （2）、过F作FQBC于QPQ=BPBQ=xyPF=EFEP=FABP=xy在RtPFQ中化简得，（1x2）（3）、存在这样的P点EOF=AOFEHG=EOA=2EOF当EFO=EHG=2EOF时即EOF=30时，RtEFORtEHG 此时RtAFO中，y=AF=OAtan30=当时，EFOEHG y=xy=x+127.如图，AB为O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EGBC于G，延长GE交AD于H（1）求证：AH=HD；（2）若cosC=，DF=9，求O的半径（1）证明：AB为O的直径，DE=EC，ABCD，C+CBE=90，EGBC，C+CEG=90，CBE=CEG，CBE=CDA，CEG=DEH，CDA=DEH，HD=EH，A+ADC=90，AEH+DEH=90，AH=EH，AH=HD；（2）解：AB为O的直径，ADB=90，BDF=90，BF是O的切线，DBF=C，cosC=，DF=9，tanDBF=，BD=12，A=C，sinA=，AB=20，O的半径为1028如图，以AB为直径的半圆O 交AC于点D，且点D为AC的中点，DEBC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G.（1）求证：DE为半圆O的切线；ABODCEGF（第23题图）（2）若，求EF的长.29如图，在平面直角坐标系中，ABC是O的内接三角形，ABAC，点P是的中点，连接PA，PB，PC （1）如图，若BPC60，求证：；（2）如图，若，求的值30已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G （1）如图，若四边形ABCD是矩形，且DECF，求证； （2）如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； （3）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，BAD90，DECF，请直接写出的值31平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（4，0），B（2，0），C（3，3）反比例函数y=的图象经过点C（1）求此反比例函数的解析式；（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形ADCB，请你通过计算说明点D在双曲线上；（3）请你画出ADC，并求出它的面积解：（1）点C（3，3）在反比例函数y=的图象上，3=，m=9，反比例函数的解析式为y=；（2）过C作CEx轴于点E，过D作DFx轴于点F，则CBEDAF，AF=BE，DF=CE，A（4，0），B（2，0），C（3，3），DF=CE=3，OA=4，OE=3，OB=2，OF=OAAF=OABE=OA（OEOB）=4（32）=3，D（3，3），点D与点D关于x轴对称，D（3，3），把x=3代入y=得，y=3，点D在双曲线上；（3）C（3，3），D（3，3），点C和点D关于原点O中心对称，DO=CO=DC，SADC=2SAOC=2AOCE=243=12，即SADC=1232.如图1，点A是线段BC上一点，ABD和ACE都是等边三角形（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将ABD绕点A顺时针旋转得到ABD当旋转角为60度时，边AD落在AE上；在的条件下，延长DD交CE于点P，连接BD，CD当线段AB、AC满足什么数量关系时，BDD与CPD全等？并给予证明33如图，ABC内接于O，且AB为O的直径ACB的平分线交O于点D，过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F（1）求证：DPAB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长34、如图，内接于，60，是的直径，点是延长线上的一点，且。（1）求证：是的切线；（5分）（2）若，求的直径。(第23题)35半径为2cm的与O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，O与l相切于点F，DC在l上（1）过点B作的一条切线BE，E为切点填空：如图1，当点A在O上时，EBA的度数是30；如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与O的公共点，求扇形MON的面积的范围解：（1）半径为2cm的与O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，OB=4，EO=2，OEB=90，EBA的度数是：30；如图2，直线l与O相切于点F，OFD=90，正方形ADCB中，ADC=90，OFAD，OF=AD=2，四边形OFDA为平行四边形，OFD=90，平行四边形OFDA为矩形，DAAO，正方形ABCD中，DAAB，O，A，B三点在同一条直线上；EAOB，OEB=AOE，EOABOE，=，OE2=OAOB，OA（2+OA）=4，解得：OA=1，OA0，OA=1；方法二：在RtOAE中，cosEOA=，在RtEOB中，cosEOB=，=，解得：OA=1，OA0，OA=1；方法三：OEEB，EAOB，由射影定理，得OE2=OAOB，OA（2+OA）=4，解得：OA=1，OA0，OA=1；（2）如图3，设MON=n，S扇形MON=22=n（cm2），S随n的增大而增大，MON取最大值时，S扇形MON最大，当MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OKMN于K，MON=2NOK，MN=2NK，在RtONK中，sinNOK=，NOK随NK的增大而增大，MON随MN的增大而增大，当MN最大时MON最大，当MN最小时MON最小，当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，MON=BOD=90，S扇形MON最大=（cm2），当MN=DC=2时，MN最小，ON=MN=OM，NOM=60，S扇形MON最小=（cm2），S扇形MON故答案为：3036如图，已知O是等腰直角三角形ADE的外接圆，ADE=90，延长ED到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H求证：（1）AC是O的切线（2）HC=2AH37.如图，ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PEAB交BC于E，PFBC交AB于F（1）证明：PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是PEC、AFP、ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值（1）证明：AB=BC，A=C，PEAB，CPE=A，CPE=C，PCE是等腰三角形；（2）解：PCE是等腰三角形，EMCP，CM=CP=，tanC=tanA=k，EM=CMtanC=k=，同理：FN=ANtanA=k=4k，由于BH=AHtanA=8k=4k，而EM+FN=+4k=4k，EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=162x，BH=16，所以，SPCE=x2x=x2，SAPF=（8x）（162x）=（8x）2，SABC=816=64，S=SABCSPCESAPF，=64x2（8x）2，=2x2+16x，配方得，S=2（x4）2+32，所以，当x=4时，S有最大值3238.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含角的直角三角板与按如图（1）所示位置放置放置，现将绕点按逆时针方向旋转角，如图（2），与交于点，与交于点，与交于点.（1）求证：；（2）当旋转角时，四边形是什么样的特殊四边形？并说明理由.39.如图，在中，高，矩形的一边在边上，、分别在、上，交于点.（1）求证：；（2）设，当为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形的面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速向上运动（当矩形的边到达点时停止运动），设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围.40如图所示，在RtABC中，AB=BC=4，ABC=90，点P是ABC的外角BCN的角平分线上一个动点，点P是点P关于直线BC的对称点，连结PP交BC于点M，BP交AC于D，连结BP、AP、CP（1）若四边形BPCP为菱形，求BM的长；（2）若BMPABC，求BM的长；（3）若ABD为等腰三角形，求ABD的面积 ：解：（1）四边形BPCP为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，点M为BC的中点，BM=BC=4=2（2）ABC为等腰直角三角形，若BMPABC，则BMP必为等腰直角三角形，BM=MP由对称轴可知，MP=MP，PPBC，则BMP为等腰直角三角形，BPP为等腰直角三角形，BP=BPCBP=45，BCP=（18045）=67.5，BPC=180CBPBCP=1804567.5=67.5，BPC=BCP，BP=BC=4，BP=4在等腰直角三角形BMP中，斜边BP=4，BM=BP=（3）ABD为等腰三角形，有3种情形：若AD=BD，如题图所示此时ABD为等腰直角三角形，斜边AB=4，SABD=ADBD=4；若AD=AB，如下图所示：过点D作DEAB于点E，则ADE为等腰直角三角形，DE=AD=AB=SABD=ABDE=4=；若AB=BD，则点D与点C重合，可知此时点P、点P、点M均与点C重合，SABD=SABC=ABBC=44=841.在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现ADCF。（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（4分）（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长。（4分）A图2OFECBDlABCEFOl图1图3BCDEFOlA42如图8，在中，的平分线交于 （1）求证：；（2）如图8（2），过点作交于,将绕点逆时针旋转角得到，连结,，求证：；（3）在（2）的旋转过程中是否存在？若存在，求出相应的旋转角；BC图8（1）AE36EBCF图8（备用图）A36图8（2）EBCF36A若不存在，请说明理由图8 解：（1）证明：，, 1分 又平分， .（2）且，；由旋转的性质可知：，. （3）存在，由（1）可知，所以，在绕点逆时针旋转过程中，点经过的路径(圆弧)与过点且与平行的直线交于M、N两点，如图 当点的像与点重合时，则四边形为等腰梯形， ，又， 当点的像与点重合时，由得， ，所以，当旋转角为或时，10分36BCAEF第20题解图43如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由44.如图，在ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，AND=90，连接CM交DN于点O.（1）求证：ABNCDM；（2）过点C作CEMN于点E，交DN于点P，若PE=1，1=2，求AN的长.45已知四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F（1）求证：AOECOF；（2）若EOD=30，求CE的长46已知在ABC中，ABC=90，AB=3，BC=4点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P（1）当点P在线段AB上时，求证：APQABC；（2）当PQB为等腰三角形时，求AP的长解（1）证明：A+APQ=90，A+C=90，APQ=C在APQ与ABC中，APQ=C，A=A，APQABC（2）解：在RtABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5BPQ为钝角，当PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示由（1）可知，APQABC，即，解得：PB=，AP=ABPB=3=；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示BP=BQ，BQP=P，BQP+AQB=90，A+P=90，AQB=A，BQ=AB，AB=BP，点B为线段AB中点，AP=2AB=23=6综上所述，当PQB为等腰三角形时，AP的长为或647如图，在ABCD中，AB13，BC50，BC边上的高为12点P从点B出发，沿B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度. P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动设点P的运动时间为t（秒）连结PQ （1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示） （2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记APQ的面积为S求S与t之间的函数关系式.（3）过点Q作QR/AB，交AD于点R，连结BR，如图在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值.（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为、，直接写出/BC时t的值. （第24题） （1）当点P沿AD运动时，AP.当点P沿DA运动时，AP5028108. （2分）（2）当点P与点A重合时，BPAB，t1. 当点P与点D重合时，APAD，50，t.当0t1时，如图.作过点Q作QEAB于点E.SABQ，QE.S.当1t时，如图.S，S. （3）当点P与点R重合时，APBQ，t.当0t1时，如图.，PMQM.ABQR，BPMRQM.BPAB，13，解得t1 当1t时，如图. BR平分阴影部分面积，P与点R重合.t. 当t时，如图. ， . BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分. 综上，当t1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分. （4）t，t，. （12分）提示：当CD在BC上方且CDBC时，如图.QCOC，或，解得t7或t.当CD在BC下方且CDBC时，如图.ODPD，解得t. 48、如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD与点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=，DQ=；（1） 求证：ADQPBA，并求出关于的函数解析式；（2） 当点P运动时，APQ的面积S是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出S的值；第22题（3） 当以4为半径的Q与直线AP相切，且A与Q也相切时，求A的半径.49如图，在ABC中，C=90，BC=3，AB=5。点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度沿CAB的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒。（1）当t= 时，点P与点Q相遇；（2）在点P从B点到点C的运动中，当t为何值时，PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设PCQ的面积为s平方单位。求s与t之间的函数关系式；当s最大时，过点P作直线AB交于点D，将ABC沿直