由图形中的不等关系求离心率范围.doc

由图形中的不等关系求离心率范围求椭圆离心率范围问题一直是普通班学生困扰的问题,我们知道需要建立有关于a,b,c,e这些量之间的一个不等关系来进行求解离心率e的范围.但是学生不知道如何去寻找题目中的不等关系.实际上抓住题目图形中变化与不变化的边之间的关系,有时候需要利用平面图形的几何性质转化边,再考察变量如何变化,则容易得出.FF解析:圆心(-c,0)到左准线x=-a2c的距离为d=-c-(-a2c),由于圆始终与左准线有两不同交点,故dr,可得-c-(-a2c)b 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？AMPF2F1O分析：思路1：根据图形中的边长之间的不等关系，求e让学生去寻找题中一些线段哪些可用a,b,c表示,例如F1F2=2c,AF2=a2c-c,由垂直平分线性质,有PF2=F1F2=2c,不等关系如何寻找呢?谁导致产生了变化?学生体会到P点的动能够使得在RTPF2A中,始终有PF2AF2,当然也可以P与A重合,故有PF2AF2,即建立不等关系.思路2, 利用P点坐标的变化,其中P点的动是本题e变化的根本, F1P与 F2M 垂直是不变的，而根据垂直，P点坐标的变化来找a、b、c的不等关系。解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 则2c-c 3c3c2a2 则e1解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 则1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 12 =0 ( +c, y0 ) ( -c, )=0 ( +c)( -c)+ =0a2-3c20 e1对比两种方法，不难看出法二具有代表性，可谓通法，而法一是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。3已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为e,若椭圆上存在点P使得PF1:PF2=e,则椭圆离心率的取值范围.PEDF2F1题中两条焦半径的不变关系:和值为2a,而又给出两条焦半径的比值,故可消去一个,得到其中一个焦半径的关系式,PF1+PF2=2a, PF1:PF2=c:a,消元得PF1=2aca+c,或者得PF2= 2a2a+c,结合焦半径的范围即可解得.变式已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是 解析:本题在转化题目条件后,实际与上题是相似的题. ,利用正弦定理将角转化成边后即得c PF2=a PF1,本题给出另一解法:我们知道由圆锥曲线统一定义,焦半径可用曲线上点到准线的距离来表示,这样即可用曲线上的点的横(纵)坐标的关系式,再由曲线上点的限制条件来解题. PF1PD=e, PF2PE=e,得PF1PF2=PDPE=x0+a2ca2c-x0=e, 所以x0=a2(c-a)a+c,由-ax0a,可解得.由上几个例子,我们可大致知道,在求椭圆中离心率范围问题时,主要是建立关于a,b,c,e这些量之间的一个不等关系,而在分析题目条件时,让学生先找出哪些线段是可用这些量来表示的,很多时候需要结合题目中给定条件,利