12第1、2课时函数的连续性.doc

江苏教育学院运河分院高等数学总 课 题第一章函数、极限与连续总课时第23、24 课时分 课 题1.7函数的连续性分课时第1、2课时教学目标知识目标：1.熟练掌握函数连续性的概念（包括在某一点处连续以及区间连续的定义；2.掌握间断点的概念及其分类；3.理解闭区间上连续函数的重要性质并能够进行简单的应用技能目标：1.会用函数连续性的概念进行判断函数的连续性问题，如：在某一点处的连续性，函数在指定区间是否连续等问题；2.会求函数的间断点并能够予以分类；4.会用闭区间上连续函数的性质证明一些函数的特性情感目标：函数的连续性问题是运用极限思想解决函数的又一个特性连续性的第一个问题，函数的连续性问题是继预科段学生掌握了初等函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性等性质的深入和延伸，也是极限在研究函数的性质的第一个应用，应该让学生在掌握函数的连续性的基础上深刻体会由局部扩展到整体的极限思想重点难点1.函数连续性的定义；2.间断点的判断及其分类教学方法探究式教学法要求学生能够在理解函数连续性的定义的基础上，充分结合定义会判断函数的连续性，并会求函数的间断点及其分类，进而运用闭区间上连续函数的性质解决一些实际问题1学生活动1、在给出了函数在某一点处连续的基础上，让学生试着说一说如何判断函数在某一点处连续的方法，并试着写出一般步骤；1知识引入自然界中由许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等，都是连续地变化着的，这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。例如就气温的变化来看，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓的连续性。下面我们首先来看一下函数的连续性的定义。1新课讲授一、函数连续的概念1函数在点处连续 定义1设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量（初值为）趋近于时，相应的函数改变量也趋近于，即或 则称函数在点处连续。 函数在点处连续也可作如下定义。 定义2设函数在点的某个领域内有定义，如果当时，函数的极限值存在，且等于处的函数值，即1学生活动2、学生回顾：单侧极限的定义及其极限存在的充要条件，进而给出左右连续的定义；3、给出函数间断点的定义的基础上，要求学生试着结合总结归纳出的函数在某一点处连续判断的一般步骤试着说一说间断点的可能性：没有定义、极限存在与否、极限是否等于函数值，进而适时地指出函数间断点的分类； 则称函数在点处连续，此时有 并且有 即如果函数在点处连续，则在点处可以交换极限号和函数号的顺序。 定义3设函数，如果，则称函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。 由上述定义2可知，如果函数在点处连续，则在处既左连续也右连续。 2函数在区间内（上）连续的定义 如果函数在开区间内的每一点都连续，则称在内连续。 如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。二、函数的间断点及其分类 1函数的间断点的定义 如果函数在点不连续，则称为的间断点。 2函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设是函数的间断点。如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 例如 是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点。1学生活动4、闭区间上的连续函数的性质要求学生能够结合图象试着说一说闭区间上连续函数的性质三、初等函数的连续性 1在区间连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间仍是连续的。 2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。 3在区间连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。 4基本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四闭区间上连续函数的性质 在闭区间上连续的函数，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。 定理1（有界定理）如果函数在闭区间上连续，则必在上有界。 定理2（最大值和最小值定理）如果函数在闭区间上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。 其中最大值和最小值的定义如下： 定义 设是区间上某点处的函数值，如果对于区间上的任一点，总有，则称为函数在上的最大值。同样可以定义最小值。 定理3（介值定理）如果函数在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为和，则对于介于和之间的任何实数，在上至少存在一个，使得 推论：如果函数在闭区间上连续，且与异号，则在内至少存在一个点，