高考数学 321精品系列专题08 圆锥曲线 文 （教师版）.doc

用心 爱心 专心1 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0808 圆锥曲线圆锥曲线 文文 教师版 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 近几年考点分布近几年考点分布 圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例 且选择题 填空题和解 答题都涉及到 客观题主要考察圆锥曲线的基本概念 标准方程及几何性质等基础知识和 处理有关问题的基本技能 基本方法 解答题往往以中档题或以押轴题形式出现 主要考 察学生逻辑推理能力 运算能力 考察学生综合运用数学知识解决问题的能力 但圆锥曲 线在新课标中化归到选学内容 要求有所降低 估计 2012 年高考对本讲的考察 仍将以以 下题型为主 1 求曲线 或轨迹 的方程 对于这类问题 高考常常不给出图形或不给出坐标系 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力 2 与圆锥曲线有关的最值问题 参数范围问题 这类问题的综合型较大 解题中需 要根据具体问题 灵活运用解析几何 平面几何 函数 不等式 三角知识 正确的构造 不等式或方程 体现了解析几何与其他数学知识的联系 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 求圆锥曲线的标准方程 离心率 准线方程等 利用待定系数法求出相应的 a b p等 1 椭圆的方程以及性质 标准方程简 图 中心坐 标 顶点坐标焦点坐标 对称轴 方程 准线方程范围 2 2 a x 2 2 b y 1 a b 0 o 0 0 a1 a 0 a2 a 0 b1 0 b b2 0 b f1 c 0 f2 c 0 x 0 y 0 x c a2 x a y b 用心 爱心 专心2 2 2 a y 2 2 b x 1 a b 0 o 0 0 a1 0 a a2 0 a b1 b 0 b2 b 0 f1 0 c f2 0 c x 0 y 0 y c a2 y a x b 2 双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 2 2 a x 2 2 b y 1 a 0 b 0 2 2 a y 2 2 b x 1 a 0 b 0 简图 中心 o 0 0 o 0 0 顶点 a1 a 0 a2 a 0 a1 0 a a2 0 a 范围 x a y a 焦点 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c 准线x c a2 y c a2 渐近线y a b xy b a x 3 抛物线的方程以及性质 例 1 设椭圆的中心在原点 坐标轴为对称轴 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为24 4 求此椭圆方程 离心率 准线方程及准线 间的距离 用心 爱心 专心3 名师点睛名师点睛 充分认识椭圆中参数a b c e 的意义及相互关系 在求标准方程时 已知 条件常与这些参数有关 考点考点 2 2 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质 例 2 设f1 f2为椭圆1 49 22 yx 的两个焦点 p为上一点 已知p f1 f2是一个直角 三角形的三个顶点 且 pf1 pf2 求 2 1 pf pf 的值 思路分析思路分析 由已知 f1不是直角顶点 所以只要对p f2中哪一个是直角顶点分两种 情况即可 解法 1 由已知 pf1 pf2 pf1 pf2 6 f1f2 52 若 pf2f1为直角 则 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 可解得 pf1 3 14 pf2 3 4 这时 2 7 2 1 pf pf 若 f2pf1为直角 则 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 可解得 pf1 4 pf2 2 这时2 2 1 pf pf 解法 2 由椭圆的对称性 不妨设p x y 其中x 0 y 0 0 5 0 5 21 ff 若 pf2f1为直角 则p 3 4 5 这时 pf1 3 14 pf2 3 4 这时 2 7 2 1 pf pf 若 pf2f1为直角 则由 1 55 1 49 22 x y x y yx 解得 5 54 5 53 p 于 用心 爱心 专心4 是 pf1 4 pf2 2 这时2 2 1 pf pf 名师点睛名师点睛 由椭圆的方程 熟练准确地写出其几何性质 如顶点 焦点 长 短 轴长 焦距 离心率 焦半径等 是应对考试必备的基本功 在解法 2 中设出了p点坐标 的前提下 还可利用 pf1 a ex pf2 a ex来求解 考点考点 3 3 有圆锥曲线的定义的问题 有圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一 第二定义求解 1 椭圆的第一定义 我们把平面内与两个定点 f1 f2的距离的和等于常数 大于 f1f2 的 点的轨迹叫做椭圆 这两定点叫做椭圆的焦点 两定点间的距离叫做椭圆的焦距 f 为直线 l 外一定点 动点到定直线的距离为 d e 为大于 1 的常数 3 1 抛物线的定义 平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点为抛物线的焦点 定直线为抛物线的准线 例 3 已知某椭圆的焦点f1 4 0 f2 4 0 过点f2并垂直于x轴的直线与椭圆 的一个焦点为 b 且 10 椭圆上不同两点 a x1 y1 c x2 y2 满足条 件 f2a f2b f2c 成等差数列 1 求该椭圆的方程 2 求弦 ac 中点的横 坐标 思路分析 因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离 所以可以从椭圆的定义 入手 解 1 由椭圆的定义及已知条件知 2a f1b f2b 10 所以a 5 又 c 3 故b 4 故椭圆的方程为1 925 22 yx 由点 b 4 y0 在椭圆上 得 f2b y0 5 9 因为椭圆的右准线方程为 4 25 x 离心率 5 4 e 所以根据椭圆的第二定义 有 5 4 5 4 25 5 4 112 xxaf 222 5 4 5 4 25 5 4 xxcf 因为 f2a f2b f2c 成等差数列 1 5 4 5x 5 9 2 5 4 5 2 x 所以 x1 x2 8 从而弦 ac 的中点的横坐标为4 2 21 xx 用心 爱心 专心5 名师点睛名师点睛 涉及椭圆 双曲线上的点到两个焦点的距离问题 常常要注意运用第 一定义 而涉及曲线上的点到某一焦点的距离 常常用圆锥曲线的统一定义 对于后者 需 要注意的是右焦点与右准线对应 不能弄错 考点考点 4 4 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线位置关系问题 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题 实际上是研究它们的方程组 成的方程是否有实数解成实数解的个数问题 此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想 方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当直线与圆锥曲线相交时 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 涉及弦长问题 常用 韦达定理法 设而不求计算弦 长 即应用弦长公式 涉及弦长的中点问题 常用 点差法 设而不求 将弦所在直线的 斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 同时还应充分挖掘题目的隐含条件 寻找量与 量间的关系灵活转化 往往就能事半功倍 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程 利用判别式 韦 达定理来求解或证明 例 4 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 22 2 1 2 1 22 2 1 2 2 1 2 1 2 1 22 11 1 11 1 11 1 11 11 1 21 2 2 1 2 2 1 1 1 11 1 1 opyx b y a x ba yxba yaxb yxba oroq aybx aby aybx abx r aybx aby aybx abx q ax a b y x x y y ax a b ylax a b yl a b y a x x x y yopyxp 点坐标为同理得 点坐标为得由分别为 方程与渐近线平行的两直线过且方程为 则点坐标为设解 用心 爱心 专心6 o y x g c d b a n 2 11 2 22 1 11 2222 11111222 11 111 222222 111 222 22 1111 22 2 1 2 2 2 15 1 24422 qr aqr y ay aaqrqrhorxx x xy xyyxya yy ab xa b xy xb xa ya bb aabbbxy sqr hyyyxa bab 点到直线的距离即的上的高为 代入 得 满足 5 22 b pa 条件的点存在 其坐标为 名师点睛名师点睛 在以直线与双曲线的知识为背景前提下 结合相应的平面几何知识点到直 线距离 两直线的交点问题等来解决有关的三角形面积 交点坐标问题 深刻体会代数法 来解决解析几何的思想实质 考点考点 5 5 轨迹问题 轨迹问题 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法 定义法 代入法 参数法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系 直接坐标化 列出等式化 简即得动点轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如椭圆 双曲线 抛物线 圆等 可用定义直接探求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 相关点法 根据相关点所满足的方程 通过转换而求动点的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 参数法 若动点的坐标 x y 中的 x y分别随另一变量 的变化而变化 我们可以以这个变量为参数 建立轨迹的参数方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求轨迹方程 一定要 注意轨迹的纯粹性和完备性 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 要注意区别 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念 根据已知条件求出轨迹方程 再由方程说明轨迹的位置 形状 大小等特征 例 5 设ab是单位圆o的直径 n是圆上的动点 过点n的切线 与过点ab 的切线分别交于d c两点 四边形abcd的对角线 ac和bd的交点为g 求g的轨迹 解 以圆心 o 为原点 直径ab为x轴建立直角坐标系 则 a 1 0 b 1 0 单位圆的方程为 22 1xy 设 n 的坐标为 cos sin 则切线 dc 的方程为 cossin1xy 由此可得 1 cos1cos 1 1 sinsin cd ac 的方程为 1 cos 1 2sin yx bd 的方程为 1cos 1 2sin yx 将两式相乘得 2 22 2 1 cos 1 4sin yx 即 22 41xy 当点 n 恰为a或b时 四边形abcd变为线段ab 这不符合题意 所以轨迹不能包括 a b两点 所以g的轨迹方程为 22 41xy 11x 名师点睛名师点睛 对于解析几何问题 首先要建系设点然后结合几何中的性质进行求解运算 同时要注意圆的参数方程的运用 对于轨迹方程的求解要注意查漏补缺 考点考点 6 6 与圆锥曲线有关的定值 最值问题 与圆锥曲线有关的定值 最值问题 建立目标函数 转化为函数的定值 最值问题 用心 爱心 专心7 例 6 已知a 2 0 b 2 0 动点 p 与a b两点连线的斜率分别为 pa k和 pb k 且 满足 pa k pb k t t 0 且 t 1 求动点 p 的轨迹 c 的方 程 当 t 0 时 曲线 c 的两焦点为 f1 f2 若曲线 c 上存在 点 q 使得 f1qf2 120o 求 t 的取值范围 解 解 设点 p 坐标为 x y 依题意得 22 x y x y t y2 t x2 4 4 2 x t y 4 2 1 轨迹 c 的方程为 4 2 x t y 4 2 1 x 2 当 1 t 0 时 曲线 c 为焦点在x轴上的椭圆 设 1 pf r1 2 pf r2 则 r1 r2 2a 4 在 f1pf2中 21f f 2c 4t 1 f1pf2 120o 由余弦定理 得 4c2 r 2 1 r 2 2 2r1r2 0 120cos r 2 1 r 2 2 r1r2 r1 r2 2 r1r2 r1 r2 2 2 21 rr 2 3a2 16 1 t 12 t 4 1 所以当 4 1 t 0 时 曲线上存在点 q 使 f1qf2 120o 当 t 1 时 曲线 c 为焦点在y 轴上的椭圆 设 1 pf r1 2 pf r2 则 r1 r2 2a 4 t 在 f1pf2中 21f f 2c 4t 1 f1pf2 120o 由余弦定理 得 4c2 r 2 1 r 2 2 2r1r2 0 120cos r 2 1 r 2 2 r1r2 r1 r2 2 r1r2 r1 r2 2 2 21 rr 2 3a2 16 1 t 12t t 4 所以当 t 4 时 曲线上存在点 q 使 f1qf2 120o 综上知当 t 0 时 曲线上存在点 q 使 aqb 120o的 t 的取值范围是 0 4 1 4 w w w zxxk c o m 名师点睛名师点睛 本试题先直接发球轨迹方程 然后运用一问的结论进一步研究第二问 充 分利用圆锥曲线的定义和余弦定理 结合不等式的思想来得到不等式关系 从而得到相关 的结论 主要是体会焦点三角形的运用 用心 爱心 专心8 名师点睛名师点睛 设椭圆上动点坐标为 x y 用该点的横坐标将距离 d 表示出来 利用求函 数最值的方法求 d 的最小值 考点考点 7 7 与圆锥曲线有关的对称问题 与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明 例例 7 7 过点 1 0 的直线l与中心在原点 焦点在x轴上且离心率为 2 2 的椭圆c相交于 a b两点 直线y 2 1 x过线段ab的中点 同时椭圆c上存在一点与右焦点关于直线l对 称 试求直线l与椭圆c的方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由e 2 2 a c 得 2 1 2 22 a ba 从而a2 2b2 c b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设椭圆方程为 x2 2y2 2b2 a x1 y1 b x2 y2 在椭圆上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 则x12 2y12 2b2 x22 2y22 2b2 两式相减得 x12 x22 2 y12 y22 0 2 21 21 21 21 yy xx xx yy 设ab中点为 x0 y0 则kab 0 0 2y x 又 x0 y0 在直线y 2 1 x上 y0 2 1 x0 于是 0 0 2y x 1 kab 1 设l的方程为y x 1 右 焦点 b 0 关于l的对称点设为 x y by x bxy bx y 1 1 1 22 1 解得则由点 1 1 b 在椭圆上 得 1 2 1 b 2 2b2 b2 8 9 16 9 2 a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所求椭圆c的方程为 2 2 9 16 9 8 y x 1 l的方程为y x 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法二 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由e 2 1 2 2 2 22 a ba a c 得 从而a2 2b2 c b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设椭圆c的方程为 x2 2y2 2b2 l的方程为y k x 1 将l的方程代入c的方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2b2 0 则x1 x2 2 2 21 4 k k y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2k 2 21 2 k k 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直线l 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 y 2 1 x过ab的中点 2 2 2121 yyxx 则 2 2 2 21 2 2 1 21k k k k 解得k 0 或 k 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若 k 0 则l的方程为y 0 焦点f c 0 关于直线l的对称点就是f点本身 不能在 椭圆c上 所以k 0 舍去 从而k 1 直线l的方程为y x 1 即y x 1 以下同 解法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 名师点睛名师点睛 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题 解法一 将a b两点坐标代 入圆锥曲线方程 两式相减得关于直线ab斜率的等式 再利用对称点所连线段被对称轴垂 直平分来列式求解 解法二 用韦达定理 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 用心 爱心 专心9 三年高考三年高考 1010 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 20122012 年高考试题及解析年高考试题及解析 一 选择题 1 2012 年高考 浙江文 如图 中心均为原点 o 的双曲线与椭圆有公 共焦点 m n 是双曲线的两顶点 若 m o n 将椭圆长轴四等分 则双曲 线与椭圆的离心率的比值是 a 3b 2c 3d 2 答案 b 命题意图 本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质 通过对两 者公交点求解离心率的关系 解析 设椭圆的长轴为 2a 双曲线的长轴为 2a 由 m o n 将椭圆长轴四等分 则 22 2a a 即2a a 又因为双曲线与椭圆有公共焦点 设焦距均为 c 则双曲线的 离心率为 c e a c e a 2 ea ea 2 2012 年高考 四川文 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点o 并且经过 点 0 2 my 若点m到该抛物线焦点的距离为3 则 om a 2 2b 2 3c 4d 2 5 答案 b 解析 设抛物线方程为 y2 2px p 0 则焦点坐标为 0 2 p 准线方程为 x 2 p 222 00 22 pp 2 231 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3 mm ypy mom 在抛物线上 到焦点的距离等于到准线的距离 即 解得 点 根据两点距离公式有 点评 本题旨在考查抛物线的定义 mf d m 为抛物线上任意一点 f 为抛物线的焦 点 d 为点 m 到准线的距离 3 2012 年高考 山东文 已知双曲线 1 c 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为 2 若抛物 线 2 2 2 0 cxpy p 的焦点到双曲线 1 c的渐近线的距离为2 则抛物线 2 c的方程为 a 2 8 3 3 xy b 2 16 3 3 xy c 2 8xy d 2 16xy 解析 由双曲线 1 c 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为 2 可知abac3 2 则双曲线的 渐近线方程为xx a b y3 抛物线 2 2 2 0 cxpy p 的焦点 2 0 p f 则 用心 爱心 专心10 8 2 4 d p d 抛物线 2 c的方程为 2 16xy 答案应选 d 4 2012 年高考 辽宁文 已知 p q 为抛物线 x2 2y 上两点 点 p q 的横坐标分别为 4 2 过 p q 分别作抛物线的切线 两切线交于点 a 则点 a 的纵坐标为 a 1b 3c 4d 8 答案 c 解析 因为点p q的横坐标分别为 4 2 代人抛物线方程得p q的纵坐标分别为 8 2 由 22 1 2 2 xyyxyx 则所以过点p q的抛物线的切线的斜率分别为 4 2 所以过点 p q的抛物线的切线方程分别为48 22 yxyx 联立方程组解得1 4 xy 故点 a的纵坐标为 4 点评 本题主要考查利用导数求切线方程的方法 直线的方程 两条直线的交点的求法 属于中档题 曲线在切点处的导数即为切线的斜率 从而把点 的坐标与直线的斜率联系到一 起 这是写出切线方程的关键 5 2012 年高考 课标文 等轴双曲线c的中心在原点 焦点在x轴上 c与抛物线 2 16yx 的准线交于a b两点 ab 4 3 则c的实轴长为 a 2b 2 2c 4d 8 命题意图 本题主要考查抛物线的准线 直线与双曲线的位置关系 是简单题 解析 由题设知抛物线的准线为 4x 设等轴双曲线方程为 222 xya 将4x 代 入等轴双曲线方程解得y 2 16a ab 4 3 2 2 16a 4 3 解得a 2 c的实轴长为 4 故选 c 6 2012 年高考 课标文 设 1 f 2 f是椭圆e 22 22 xy ab 1 a b 0 的左 右焦点 p为直线 3 2 a x 上一点 21 f pf是底角为 0 30的等腰三角形 则e的离心率为 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4 5 命题意图 本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想 是简单题 解析 21 f pf是底角为 0 30的等腰三角形 0 2 60pf a 212 2pfffc 2 af c 3 2 2 ca e 3 4 故选 c 7 2012 年高考 江西文 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右顶点分别是 a b 左 用心 爱心 专心11 右焦点分别是 f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 a 1 4 b 5 5 c 1 2 d 5 2 答案 b 解析 1121 2 afac ffc fbac 由 1121 affffb成等比数列得 222 5 2 5 5 cac acace 考点定位 本题主要考查椭圆和等比数列的知识 根据等比中项的性质可得结果 8 2012 年高考 湖南文 已知双曲线 c 2 2 x a 2 2 y b 1 的焦距为 10 点 p 2 1 在 c 的 渐近线上 则 c 的方程为 a 2 20 x 2 5 y 1b 2 5 x 2 20 y 1c 2 80 x 2 20 y 1d 2 20 x 2 80 y 1 答案 a 解析 设双曲线 c 2 2 x a 2 2 y b 1 的半焦距为c 则210 5cc 又 c 的渐近线为 b yx a 点 p 2 1 在 c 的渐近线上 12 b a a 即2ab 又 222 cab 2 5 5ab c 的方程为 2 20 x 2 5 y 1 点评 本题考查双曲线的方程 双曲线的渐近线方程等基础知识 考查了数形结合的思想 和基本运算能力 是近年来常考题型 9 2012 年高考 福建文 已知双曲线 2 2 x a 2 5 y 1 的右焦点为 3 0 则该双曲线的离心 率等于 a 3 14 14 b 3 2 4 c 3 2 d 4 3 答案 c 解析 由 22 3 532 2 c aae a c 答案正确 考点定位 本题主本考查双曲线的方程与基本性质 属于基础题 10 2012 年高考 大纲文 已知 12 f f为双曲线 22 2xy 的左 右焦点 点p在 c上 12 2 pfpf 则 12 cosfpf 用心 爱心 专心12 a 1 4 b 3 5 c 3 4 d 4 5 答案 c 命题意图 本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用 以及余弦定理的运用 首先运用定义得到两个焦半径的值 然后结合三角形中的余弦定理求解即可 解析 解 由题意可知 2 2abc 设 12 2 pfx pfx 则 12 22 2pfpfxa 故 12 4 2 2 2pfpf 12 4ff 利用余弦定理可得 222222 1212 12 12 4 2 2 2 43 cos 242 2 24 2 pfpfff fpf pf pf 11 2012 年高考 大纲文 椭圆的中心在原点 焦距为 4 一条准线为4x 则该椭圆 的方程为 a 22 1 1612 xy b 22 1 128 xy c 22 1 84 xy d 22 1 124 xy 答案 c 命题意图 本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用 通过准线方程确定焦点位置 然后借助于焦距和准线求解参数 a b c 从而得到椭圆的方程 解析 因为242cc 由一条准线方程为4x 可得该椭圆的焦点在x轴上县 2 2 448 a ac c 所以 222 844bac 故选答案 c 二 填空题 12 2012 年高考 重庆文 设p为直线 3 b yx a 与双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 左支的交点 1 f是左焦点 1 pf垂直于x轴 则双曲线的离心率e 答案 3 2 4 解析 由 22 22 3 2 34 2 1 4 b yxxa a xy yb ab 又 1 pf垂直于x轴 所以 3 23 2 44 ace 考点定位 本题考查了双曲线的焦点 离心率 考查了两条直线垂直的条件 考查了方程 思想 13 2012 年高考 天津文 已知双曲线 0 0 1 2 2 2 2 1 ba b y a x c与双曲线 用心 爱心 专心13 1 164 22 2 yx c有相同的渐近线 且 1 c的右焦点为 5 0 f 则 a b 答案 1 2ab 解析 双曲线的1 164 22 yx 渐近线为xy2 而1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线为x a b y 所以有2 a b ab2 又双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点为 0 5 所以5 c 又 222 bac 即 222 545aaa 所以2 1 1 2 baa 14 2012 年高考 四川文 椭圆 22 2 1 5 xy a a 为定值 且5 a 的的左焦点为f 直 线xm 与椭圆相交于点a b fab 的周长的最大值是 12 则该椭圆的离心率是 答案 3 2 解析 根据椭圆定义知 4a 12 得 a 3 又5 22 ca 3 2 2 a c ec 点评 本题考查对椭圆概念的掌握程度 突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念 15 2012 年高考 陕西文 右图是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面 2 米 水面宽 4 米 水位下降 1 米后 水面宽 米 答案 2 6米 解析 建立如图所示的直角坐标系 则抛物线方程为 2 2xy 当3y 时 6x 所以水面宽2 6米 16 2012 年高考 辽宁文 已知双曲线 x2 y2 1 点 f1 f2为其两个焦点 点 p 为双 曲线上一点 若 p f1 pf2 则 p f1 p f2 的值为 答案 2 3 解析 由双曲线的方程可知 12 1 2 22 acpfpfa 22 1122 24pfpf pfpf 用心 爱心 专心14 22 2 121212 2 1212 2 8 24 8412 2 3 pfpfpfpfcpf pf pfpfpfpf 点评 本题主要考查双曲线的定义 标准方程以及转化思想和运算求解能力 难度适中 解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理 实现差 积 和的转化 17 2012 年高考 安徽文 过抛物线 2 4yx 的焦点f的直线交该抛物线于 a b两点 若 3af 则 bf 答案 bf 3 2 解析 bf 3 2 设 0 afx 及bfm 则点a到准线 1l x 的距离 为3得 1 323coscos 3 又 23 2cos 1cos2 mmm 三 解答题 18 2012 年高考 重庆文 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知椭圆的中心为原点o 长轴在x 轴上 上顶点 为a 左 右焦点分别为 12 f f 线段 12 of of 的中点分别为 12 b b 且 12 ab b是面积为 4 的 直角三角形 求该椭圆的离心率和标准方程 过 1 b 作直线交椭圆于 p q 22 pbqb 求 2 pb q的面积 答案 2 20 x 2 4 y 1 16 10 9 解析 1 设所求椭圆的标准方程为 22 22 1 0 xy ab ab 右焦点为 2 0 f c 由 12 ab b 是直角三角形且 12 abab 故 12 90b ab 从而 2 oaob 即 2 c b 结合 22222 5cabab 22 4cb 所以椭圆的离心率 2 5 5 c e a 在 12 rt ab b 中 12 oab b 故 12 2 12 1 22 ab b c sbboaoboabb 由题设条件 1 2 2 442 ab b sbb 从 用心 爱心 专心15 而 22 520ab 因此所求椭圆的标准方程为 22 1 204 xy 2 由 1 可知 12 2 0 2 0 bb 由题意 直线pq的倾斜角不为 0 故可设直线 2pq xmy 代入椭圆的方程可得 22 5 4160mymy 设 1122 p x yq xy 则 12 y y 是上面方程的两根 因此 12 2 4 5 m yy m 12 2 16 5 yy m 又 111222 2 2 b pxyb pxy 所以 1212 2 2 b p b pxx 12 y y 1212 4 4 mymyy y 2 12 1 my y 12 4 16m yy 22 22 16 1 16 16 55 mm mm 2 2 1664 5 m m 由 22 pbqb 知 22 0b p b q 即 2 16640m 解得2m 当2m 时 方程 化为 2 98160yy 故 12 44 1044 10 99 yy 12 8 10 9 yy 2 pb qa的面积 1212 116 10 29 sb byy 当2m 时 同理可得 或由对称性可 得 2 pb qa 的面积 16 10 9 s 综上所述 2 pb qa 的面积为16 10 9 19 2012 年高考 浙江文 本题满分 14 分 如图 在直角坐标系 xoy 中 点 p 1 1 2 到抛物线 c 2 y 2px p 0 的准线的距离为 5 4 点 m t 1 是 c 上的定点 a b 是 c 上的两动点 且线段 ab 被直线 om 平分 1 求 p t 的值 2 求 abp 面积的最大值 命题意图 本题主要考查了抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力 1 由题意得 21 5 1 24 pt p 得 1 2 1 p t 2 设 1122 a x yb xy 线段 ab 的中点坐标为 q m m 用心 爱心 专心16 由题意得 设直线 ab 的斜率为 k k0 由 2 11 2 22 2px 2px y y 得 211221 yyyyk xx 得21km 所以直线的方程为 1 2 ymxm m 即 2 220 xmymm 由 2 2 220 xmymm yx 整理得 22 220ymymm 所以 2 44mm a 12 2yym 2 12 2y ymm 从而得 22 12 2 1 11444abyymmm k 设点 p 到直线 ab 的距离为 d 则 2 2 1 22 14 mm d m 设 abp 的面积为 s 则 22 1 12 2 sab dmmmm 由 2 440mm 得01m 令 2 tmm 1 0 2 t 则 2 1 2 stt 设 2 1 2 stt 1 0 2 t 则 2 1 6st 由 2 1 60st 得 61 0 62 t 所以 max 6 9 s 故 abp 的面积的最大值为 6 9 20 2012 年高考 天津文 已知椭圆 22 22 1 xy ab 0 a b 点 52 52 paa在椭圆 上 i 求椭圆的离心率 ii 设a为椭圆的右顶点 o为坐标原点 若q在椭圆上且满足 aqao 求直线oq的斜率的值 解 因为点 52 52 paa在椭圆上 故 222 222 5 1 528 aaa abb 于是 222 2 22 3 1 8 abb e aa 所以椭圆的离心率 6 4 e 2 设直线oq的斜率为k 则其方程为ykx 设点q的坐标为 00 xy 用心 爱心 专心17 由条件得 00 22 00 22 1 ykx xy ab 消去 0 y并整理得 22 2 0 222 a b x k ab 由 aqao 0 aa 及 00 ykx 得 222 00 xakxa 整理得 22 00 1 20kxax 而 0 0 x 故 0 2 2 1 a x k 代入 整理得 2 222 2 1 44 a kk b 由 i 知 2 2 8 5 a b 故 222 32 1 4 5 kk 即 42 522150kk 可得 2 5k 所以直线 oq 的斜率5k 21 2012 年高考 四川文 如图 动点m与两定点 1 0 a 1 0 b构成mab 且直线mamb 的斜率之积为 4 设动点m的轨 迹为c 求轨迹c的方程 设直线 0 yxm m 与y轴交于点p 与轨迹c相交于点qr 且 pqpr 求 pr pq 的取值范围 解析 1 设 m 的坐标为 x y 当 x 1 时 直线 ma 的斜率不存在 当 x 1 时 直 线 mb 的斜率不存在 于是 x 1 且 x 1 此时 ma 的斜率为 1 x y mb 的斜率为 1 x y 由题意 有 1 x y 1 x y 4 化简可得 4x2 y2 4 0 故动点 m 的轨迹 c 的方程为 4x2 y2 4 0 x 1 且 x 1 2 由 044 22 yx mxy 消去 y 可得 3x2 2mx m2 4 0 对于方程 其判别式 2m 2 4 3 m2 4 16m2 48 0 而当 1 或 1 为方程 的根时 m 的值为 1 或 1 结合题设 m 0 可知 m 0 且 m 1 设 q r 的坐标分别为 xq yq xr yr 则为方程 的两根 因为prpq 所以 qr xx 22 2323 33 qp mmmm xx 所以 2 22 3 2 11 2 1 33 2 112 11 p r xpr m pqx mm 此时2 3 1 1 3 1 22 mm 且所以 y x bao m 用心 爱心 专心18 3 5 1 3 12 2 1 3 1 3 12 2 11 m 22 且 m 所以 3 5 31 x x x x p r p r pq pr pq pr 且 综上所述 的取值范围是 3 3 5 3 5 1 pq pr 点评 本小题主要考察直线 双曲线 轨迹方程的求法等基础知识 考察思维能力 运 算能力 考察函数 分类与整合等思想 并考察思维的严谨性 22 2012 年高考 上海文 在平面直角坐标系xoy中 已知双曲线12 22 yxc 1 设f是c的左焦点 m是c右支上一点 若 mf 22 求过m点的坐标 2 过c的 左顶点作c的两条渐近线的平行线 求这两组平行线围成的平行四边形的面积 3 设斜 率为 2 kk的直线l交c于p q两点 若l与圆1 22 yx相切 求证 op oq 解 1 双曲线1 2 2 1 2 yc x 左焦点 0 2 6 f 设 yxm 则 2 2 222 2 62 3 xyxmf 由m是右支上一点 知 2 2 x 所以223 2 2 xmf 得 2 6 x 所以 2 2 6 m 2 左顶点 0 2 2 a 渐近线方程 xy2 过a与渐近线xy2 平行的直线方程为 2 2 2 xy 即12 xy 解方程组 12 2 xy xy 得 2 1 4 2 y x 所求平行四边形的面积为 4 2 yoas 3 设直线pq的方程是bkxy 因直线与已知圆相切 故1 1 2 k b 即1 22 kb 由 12 22 yx bkxy 得012 2 222 bkbxxk 设p x1 y1 q x2 y2 则 2 2 2 2 1 21 2 2 21 k b k kb xx xx 2121 bkxbkxyy 所以 2 2121 2 2121 1 bxxkbxxkyyxxoqop 2 22 2 22 2 22 2 1 2 2 2 1 1 k kb k bk k bk 由 知0 oqop 所以op oq 用心 爱心 专心19 23 2012 年高考 陕西文 已知椭圆 2 2 1 1 4 x cy 椭圆 2 c以 1 c的长轴为短轴 且 与 1 c有相同的离心率 1 求椭圆 2 c的方程 2 设 o 为坐标原点 点 a b 分别在椭圆 1 c和 2 c上 2oboa 求直线ab的方程 24 2012 年高考 山东文 如图 椭圆 22 22 1 0 xy mab ab 的离心率为 3 2 直线xa 和 yb 所围成的矩形abcd的面积为 8 求椭圆m的标准方 程 设直线 l yxm m r与椭圆m有两个不同的交点 p q l与矩形abcd有两个不同的交点 s t 求 pq st 的最大值及取得最大值时m的值 解 i 22 2 33 24 cab e aa 矩形abcd面积为 8 即228ab 由 解得 2 1ab 椭圆m的标准方程是 2 2 1 4 x y ii 22 22 44 58440 xy xmxm yxm 设 1122 p x yq xy 则 2 1212 844 55 m xxm x x 由 22 6420 44 0mm 得55m 2 2 2 8444 2 245 555 m pqmm 线段 cd 的方程为 22 1 xy 线段 ad 的方程为 11 2 yx 1 不妨设点 s 在 ad 边上 t 在 cd 边上 可知 1 2 2 2 51 dmsm 所以 3 2 2 1 22mmsdst 则 2 2 3 5 5 4 m m st pq 令 2 53 3 51 3 ttmmmt 则 4 53 2 1 1 t 所以 用心 爱心 专心20 4 5 4 31 4 5 4 3 5 5 4 2 2 tt t st pq 当且仅当 3 4 t时 st pq 取得最大值 2 5 5 此时 5 3 m 2 不妨设点 s 在 ab 边上 t 在 cd 边上 此时11 m 因此222 adst 此 时 2 5 5 2 m st pq 当0 m时 st pq 取得最大值 2 5 5 3 不妨设点 s 在 ab 边上 t 在 bc 边上 可知 15 x 由椭圆和矩形的对称 性可知当 5 3 m 时 st pq 取得最大值 2 5 5 综上所述当 5 3 m 和 0 时 pq st 取得 最大值 2 5 5 25 2012 年高考 课标文 设抛物线c 2 2xpy p 0 的焦点为f 准线为 l a为c上一点 已知以f为圆心 fa为半径的圆f交l于b d两点 若 0 90bfd abd 的面积为4 2 求p的值及圆f的方程 若a b f三点在同 一条直线m上 直线n与m平行 且n与c只有一个公共点 求坐标原点到m n距离的比 值 命题意图 本题主要考查圆的方程 抛物线的定义 直线与抛物线的位置关系 点到直 线距离公式 线线平行等基础知识 考查数形结合思想和运算求解能力 解析 1 由对称性知 bfd 是等腰直角 斜边2bdp 点a到准线l的距离2dfafbp 所以圆 f 的半径为p2 又 2 222 2 1 2 1 24pppdbds abd 所以2 p 进而圆心 1 0f 所以圆f的方程为 22 1 8xy 2 fba 三点共线于m 所以ab为 f的直径 所以 0 90 adb 由抛物 线定义知 abafad 2 1 所以 0 30 abd 可取直线m的倾斜角为 0 30 abd 又直线m过焦点 2 0 p f 所以直线m的方程为 23 3p xy m的 纵截距为 2 p bm 用心 爱心 专心21 因直线m 直线n 所以可设直线n的方程为bxy 3 3 联立 pyx bxy 2 3 3 2 消去 y得 02 3 32 2 bppxx 已知直线n与抛物线c只有一个公共点 所以 的判 别式等于 0 即有 0214 3 32 2 bpp 求得 6 p b 即直线n的纵截 距为 6 p bn 所以 坐标原点到m n距离的比为 1 3 6 2 p p b b n m 解法二 由对称性设 2 0 00 0 2 x a xx p 则 0 2 p f 由点 a b关于点f对称得 22 22 00 00 3 222 xxp bxppxp pp 得 3 3 2 p ap 直线 3 3 22 30 223 pp pp m yxxy p 2 2 33 2 233 xx xpyyyxp pp 切点 3 36 p p p 直线 333 30 6336 pp n yxxyp 坐标原点到 m n距离的比值为 33 3 26 pp 26 2012 年高考 江西文 已知三点 0 0 2 1 2 1 oab 曲线c上任意一点 m x y满足 2mambomoaob 1 求曲线c的方程 2 点 000 22 q xyx 是曲线c上动点 曲线c在点q处的切线为l 点