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第一章计数原理 知识体系 两个基本计数原理 问题情境1 问题1 从南京到上海 有3条公路 2条铁路 那么从南京到上海共有多少种不同的方法 上海 宁波 问题2 增加杭州游 从南京到杭州的路有2条 由杭州到上海的路有3条 问 从南京经杭州到上海有多少种不同的方法 上海 宁波 杭州 完成一件事 有n类方式 在第一类方式 中有m1种不同的方法 在第二类方式 中有m2种不同的方法 在第n类方式 中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 注 本原理又称加法原理 注 本原理又称乘法原理 分步计数原理 分类计数原理 N m1 m2 mn 总结出两个原理的联系 区别 完成一件事 共有n类办法 关键词 分类 完成一件事 共分n个步骤 关键词 分步 每类办法相互独立 每类方法都能独立地完成这件事情 各步骤中的方法相互依存 只有各个步骤都完成才算完成这件事 都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题 例1 某班共有男生28名 女生20名 从该班选出学生代表参加校学代会 若学校分配给该班1名代表 有多少种不同的选法 若学校分配给该班2名代表 且男女生代表各1名 有多少种不同的选法 例2 1 在图 1 的电路中 只合上一只开关以接通电路 有多少种不同的方法 2 在图 2 的电路中 合上两只开关以接通电路 有多少种不同的方法 1 在图 1 的电路中 只合上一只开关以接通电路 有多少种不同的方法 在图 1 中按要求接通电路 只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一只即可 故有2 3 5种不同的方法 2 在图 2 的电路中 合上两只开关以接通电路 有多少种不同的方法 在图 2 中 按要求接通电路必须分两步进行 第一步 合上A中的一只开关 第二步 合上B中的一只开关 故有2 3 6种不同方法 答 在图 1 的电路中 只合上一只开关以接通电路 有5种不同的方法 图 2 的电路中 合上两只开关以接通电路 有6种不同的方法 A B A B m1 m1 m2 m2 mn mn 例3 书架放有3本不同的数学书 5本不同的语文书 6本不同的英语书 1 若从这些书中任取1本书 有多少种不同的取法 2 若从这些书中 取数学书 语文书 英语书各一本 有多少种不同的取法 3 若从这些书中 取不同科目的书两本 有多少种不同的取法 例3 书架放有3本不同的数学书 5本不同的语文书 6本不同的英语书 1 若从这些书中任取1本书 有多少种不同的取法 2 若从这些书中 取数学书 语文书 英语书各一本 有多少种不同的取法 3 若从这些书中 取不同科目的书两本 有多少种不同的取法 例3 书架放有3本不同的数学书 5本不同的语文书 6本不同的英语书 1 若从这些书中任取1本书 有多少种不同的取法 2 若从这些书中 取数学书 语文书 英语书各一本 有多少种不同的取法 3 若从这些书中 取不同科目的书两本 有多少种不同的取法 例4 为了确保电子信箱的安全 在注册时通常要设置电子信箱密码 在网站设置的信箱中 密码为4位 每位均为0到9这10个数字中的一个数字 这样的密码共有多少个 密码为4位 每位是0到9这10个数字中的一个 或是从A到Z这26个英文字母中的1个 这样的密码共有多少个 3 密码为4 6位 每位均为0到9这10个数字中的一个数字 这样的密码共有多少个 排数字问题 密码为4位 每位均为0到9这10个数字中的一个数字 这样的密码共有多少个 解 1 设置四位密码 每一位上都可以从0到9这10个数字中取一个 有10种取法 根据分步计数原理 四位密码的个数是10 10 10 10 10000 密码为4位 每位是0到9这10个数字中的一个 或是从A到Z这26个英文字母中的1个 这样的密码共有多少个 2 设置四位密码 每一位上都可以从0到9这10个数字或从A到Z这26个英文字母中的1个中取一个 共有10 26 36种取法 根据分步计数原理 四位密码的个数是36 36 36 36 1679616 3 密码为4 6位 每位均为0到9这10个数字中的一个数字 这样的密码共有多少个 3 设置一个由0到9这10个数字组成的4 6位密码 有3类方式 其中设置4位密码 5位密码 6位密码的个数分别为104 105 106 根据分类计数原理 设置由0到9这10个数字组成的4 6位密码个数是104 105 106 1110000 排数字问题 练习 用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个数字不重复的三位数 2 可以组成多少个数字允许重复的三位数 3 可以组成多少个数字不重复的三位的奇数 3 可以组成多少个大于3000 小于5432的无重复数字的四位数 179 180 100 48 探究 如图所示 用4种不同的颜色给图中A B C D四个区域涂色 规定每个区域只涂一种颜色 相邻区域的颜色都不同 求共有多少种不同的涂色方法 解析 分四步来完成涂色这件事 A有4种涂法 B有3种涂法