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第七章多元微积分学 本章教学内容分为三部分 多元函数及其几何意义 多元函数的偏导数 多元函数微分学 多重积分 多元函数积分学 具体教学内容 1 多元函数 1 1 空间坐标系及其相关知识 1 2 空间曲面与三元方程 1 3 空间曲面与三元方程 1 4 多元函数的定义与几何意义 1 5 多元函数的极限与连续 重要程度 难度 2 多元函数微分学 2 1 多元函数的偏导数及全微分 2 2 多元复合函数的偏导数 隐含数求导公式 2 3 多元函数的极值与应用 3 多元函数积分学 3 1 二重积分的定义 3 2 直角坐标系下二重积分的计算 3 3 极坐标系下二重积分的计算 7 1预备知识 本节介绍空间直角坐标系的相关概念 空间点与坐标的关系 空间两点直线距离的度量 空间曲面与空间曲线的表达 在空间任娶一点O 过点O作三条互相垂直的数轴ox oy oz 各轴的方向按右手规则确定 一 空间直角坐标系 o x y z 单位长度 其中 点o称为坐标系的原点 ox oy oz分别称为x轴 y轴 z轴 也被称为横轴 纵轴 竖轴 1 空间直角坐标系 o x y z x轴 y轴所在的平面称为xoy平面 x轴 z轴所在的平面称为xoz平面 y轴 z轴所在的平面称为yoz平面 这三个互相垂直的平面 把空间分成八个部分 称为八个卦限 如图所示 6 o y x z 2 3 4 1 5 7 8 2 空间点的坐标 三元有序数组 的对应 o x y z p 设p是空间中任意一点 过p作垂直于x轴的平面 交x轴于一点 在x轴上的读数为x0 x0 过p点作垂直于y轴的平面交y轴于一点 读数为y0 y0 过p点作垂直于z轴的平面 交z轴于一点 读数为z0 z0 三个垂足的读数构成数组 x0 y0 z0 称为空间点p的坐标 记为P x0 y0 z0 特殊点的坐标 o x y z p x0 y0 z0 坐标原点o 0 0 0 x轴上的点px x 0 0 y轴上的点py 0 y 0 z轴上的点pz 0 0 z xoy平面上的点 x y 0 x0 y0 0 0 y0 z0 x0 0 y0 例1指出下列点位于第几卦限 1 2 3 4 2 2 3 4 3 2 3 4 4 2 3 4 yoz平面上的点 0 y z xoz平面上的点 x 0 z 二 空间两点间的距离公式 给定空间中两点p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z3 求两点之间的直线距离 y x z P1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 x2 x1 y2 y1 z1 z2 A B 根据勾股定理 有 合并 得到 y x z P1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 x2 x1 y2 y1 z1 z2 A B 其中 所以 三 空间曲面与方程 1 平面坐标系下曲线与二元方程的关系 给定一个二元方程F x y 0和平面坐标系下的一条曲线C 如果 1 二元方程F x y 0的任意一组解 x y 构成二元坐标 x y 则此点在曲线C上 2 反过来 曲线C上任意取一点 x y 其为二元方程F x y 0的解 则称此曲线C为二元方程F x y 0的曲线 图象 也称此二元方程F x y 0为曲线C的方程 例如 二元方程 与圆心在 1 1 半径 为1的圆周曲线对应 对应的曲线为定点在 0 0 的开口朝 上的一条抛物线 2 三元方程和空间曲面的对应关系 一个给定的三元方程F x y z 0和空坐标系下的一张曲面C 如果满足 1 三元方程F x y z 0的任意一组解 x y z 对应在空间坐标系的点p x y z 位于空间曲面C上 2 空间曲面C上任意一点P的坐标 x y z 恰好是三元方程F x y z 0的一组解 则称三元方程F x y z 0为曲面C的方程 也称曲面C是三元方程F x y z 0的曲面 图象 例2求以p0 x0 y0 z0 为中心 以R为半径的球面C的方程 解 在空球面C上任意取一点M x y z 由M位于已知 球面上 故M到中心的距离为半径R 即 等价变形为 这个方程就是所求的球面的方程 o x y z p0 R 求空间曲面的方程的基本方法 1 在曲面S上任取一点M x y z 2 根据已知条件 找到坐标 x y z 满足的一个表达式即可 3 如果条件允许 可以验证结论 例3已知两点O 0 0 0 p1 1 1 1 求空间中到o和p1距离相等的点所构成的轨迹的方程 曲面方程 解 设轨迹上任意一点M的坐标为 x y z 根据题意 及 整理得到 此方程就是轨迹对应的方程 根据几何观察 其为空间平面 此平面垂直于连接 0 0 0 1 1 1 两点的线段且平分 o x y z P1 1 1 1 1 1 1 3 常见空间曲面及其方程 3 1柱面 3 1 1定义 与定直线L平行的动直线L1沿着某给定的曲线C移动得到的空间曲面 称为柱面 动直线L1称为母线 曲线C称为准线 x y z L c x y z L c 设准线C在xoy平面内的表达式为f x y 0 母线L平行于y轴 则这样的柱面S的方程为 f x y 0 因为在柱面S上任意取一点M x y z s M 过M的平行于z轴 的直线交C与M1 x y M1 x y 所以M x y z 的坐标满足 f x y 0 反过来 满足f x y 0的解 x y 对应的点一定在曲线C上 则对应得任何空间点M x y z 一定在曲面S上 3 1 2常见柱面 圆柱面 x y 双曲柱面 x z y 抛物柱面 y 3 2旋转曲面 由一条曲线C绕着同一平面内的直线L旋转一周所产生的曲面叫做旋转曲面 直线L叫做旋转面的轴 曲线C叫做旋转面的一条母线 y x z C f y z 0 y x z C f y z 0 在母线C的方程已知的情况下 来确定旋转曲面的方程 在旋转面上任取一点M x y z M x y z M1 0 y1 z 过M作垂直于z轴的平面交曲线C于M1 0 y1 z 点 P 0 0 z 交z轴于点p 0 0 z 由旋转面的特征 有 即 变形得到 又由于M1位于曲线C上 y x z C f y z 0 M x y z M1 0 y1 z P 0 0 z 由于M1位于曲线C上 所以y1 z应该满足f y1 z 0 将 代入此曲线 则得到旋转面的方程 得到 y x z C f y z 0 M x y z M1 0 y1 z P 0 0 z 由此可得 在旋转面上任取一点M x y z 它的坐标满足方程 z轴为旋转轴 母线位于yoz平面内的曲线f y z 0 对比二者关系 例如 位于yoz平面内的曲线z y2绕z轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 x y z s 这个曲面S称为旋转抛物面 x y z o yoz平面内的直线z 0 5y绕y轴旋转一周生成的曲面称为圆锥面 其方程为 等价写为 同理 位于xoy内的曲线c f x y 0绕y轴旋转一周生成的旋转面的方程为 如果此曲线c绕x轴旋转一周生成的旋转面方程为 位于xoz平面内的曲线c f x z 0 绕x轴生成的旋转面的方程为 绕z轴旋转一周生成的旋转面的方程为 旋转面方程写法 平面内曲线c f x y 0为例 绕坐标轴 x 旋转一周的旋转面的方程为 c的表达式关于旋转轴的变量x不变 另一个变量被其余两的组合 替换 就得到旋转面的方程 例4写出下列给定曲线绕指定轴旋转而成的旋转面的方程 X轴 Y轴 Z轴 Y轴和z轴 3 3空间平面 空间平面的一般表达式为 其中 A B C不全为零 x y z Ax By D By Cz D Ax Cz D 特殊平面的方程 1 过原点的平面 Ax By Cz 0 2 与坐标平面平行的平面 xoy平面 z D xoz平面 y D yoz平面 x D xoy坐标平面z 0 xoz坐标平面y 0 yoz坐标平面x 0 4 二次曲面的方程与图形 如果三元方程是x y z的二次方程 则称对应的曲面为二次曲面 常见的二次曲面为 4 1球面 表示球心在 x0 y0 z0 半径为R的空间球面 o x y z p0 R 4 2椭球面 y x z a b c 即椭球面用平行于坐标平面的平面去截 得到的截口仍然是椭圆 4 3二次锥面 y x z 二次锥面用平行于xoy的平面去截 截口是椭圆 用垂直于xoy的平面去截 截口是双曲线 4 4单叶双曲面 x y z 4 5双叶双曲面 x y z 四 平面区域的概念及其解析表示 注意 这里讨论的平面都是在xoy平面内讨论 1 平面邻域 设p0 x0 y0 是xoy平面上的一定点 为一正数 以p0为圆心 为半径的圆的内部 不含圆周 称为点p0的 圆邻域 如图 1 所示 x y p0 图 1 去心邻域 邻域 去掉中心p0后 称为p0的去心邻域 记为 如图 2 所示 x y p0 2 平面上点与点集的关系 设D是xoy平面上的点集 p是xoy上的任意一点 则p与D的关系有如下三种情况 图 2 2 1p是D的内点 x y D p 若存在 0 使得 则称p为D的内点 2 2p是D的外点 若存在某个p的邻域 使得 则称p为D的外点 如图 4 所示 如图 3 所示 图 3 x y D p 图 4 2 3边界点 若p的任何一个邻域内 即含有属于D的点 又含有不属于D的点 则称p为点集D的边界点 D的所有边界点集合称为D的边界 如图 5 所示 x y D p p 图 5 由图 5 所示 D的边 界点可能属于D 也可能 不属于D 归纳 点集D的内点必属于D D的外点不属D 而D的边界点可能属于D 也可能不属于D 例如 x y o 2 3 D 图 6 图 6 所示 如果点p x y 满足 则点p x y 是D的内点 p 如果点q x y 满足 或 则点q x y 是D的外点 q q 如果点R x y 满足 R 或 R 则点R为边界点 而当R x y 满足 时 R属于D 当R满足 时 R不属于D 3 区域 3 1开集 如果D内任意一点都是D的内点 则称D为开集 如图 7 所示的D为开集 如图 6 所示的D不是开集 D x y x y o 2 3 D 图 6 图 7 3 2连通的开集 设D为一开集 p1和p2为D内任意两点 若存在D内的折线将p1和p2连接起来 则称D