圆周运动临界状态习题精选 (2).doc

圆周运动临界状态分析一、 临界条件：1， 竖直平面内：考点: 在竖直平面内做圆周运动的临界条件竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态.（1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg= 上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v临界=.能过最高点的条件：vv临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力不能过最高点的条件：vv临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）.（2）、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界=0.图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0vN0.当v=时，N=0；当v时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.当0vN0.当v=时，N=0.当v时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v临界=.当v时，小球将脱离轨道做平抛运动.在竖直平面内作圆周运动的临界问题如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况R绳图1v0vR图2vOR杆图3临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v临界能过最高点的条件：v，当v时， 绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能过最高点的条件：vv临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点v临界0，此时支持力Nmg当0v时，N为支持力，有0Nmg，且N随v的增大而减小当v时，N0当v，N为拉力，有N0，N随v的增大而增大例题:轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定着小球A和B。A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内做圆周运动。当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向；保持问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的受力大小和方向；在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。解析：A端恰好不受力，则，B球：由牛顿第三定律，B球对O轴的拉力，竖直向下。杆对B球无作用力，对A球由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力，竖直向下。 若B球在上端A球在下端，对B球：，对A球：，联系得。若A球在上端，B球在下端，对A球：，对B球： ，联系得显然不成立，所以能出现O轴不受力的情况，此时。2， 水平面内：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。说明：一般求解“在什么范围内”这一类的问题就是要分析两个临界状态。小结1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。（1） 拉力：假设法：假设两绳均受拉力作用，所得值为正，证明绳子拉紧；所得值为负，证明绳子松弛。二 练习题1如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点各系一细绳，两绳共吊着一个质量1千克的小球于D点，且BDCD，ABD=300，BD=40厘米，当直角架以AB为轴，以10弧度/秒的角速度匀速转动时，绳BD的张力为_牛，绳CD的张力为_牛。解析1：（假设法） CD绳已松弛， 解析2：（分析法）临界条件： CD绳已松弛2 ：如下图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30与45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧；当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？解析当角速度很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当逐渐增大，BC刚被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零，设这时的角速度为，则有将已知条件代入上式解得当角速度继续增大时减小，增大。设角速度达到时，（这又是一个临界状态），则有将已知条件代入上式解得所以当满足时，AC、BC两绳始终张紧。本题所给条件，此时两绳拉力、都存在。将数据代入上面两式解得，注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果时，则AC与轴的夹角小于。如果，则BC与轴的夹角大于45。3 如图5-7-9所示，OO为竖直转轴，MN为固定在OO的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC、BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO上.当线拉直时，A、B两球的转动的半径之比恒为21，当转轴角速度增大时（）图5-7-9A.AC线先断 B.BC线先断C.两线同时断 D.不能确定哪段线先解析：两球角速度相同，半径之比为21，只要能找到它们所需的向心力与绳子承担的拉力之间的关系，即可进行分析比较.每个小球均受三个力的作用：重力、杆的弹力（竖直向上）和绳子的拉力（设拉力为F，与水平杆夹角为）.其中拉力的水平分量提供小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力，.由数学知识，二式联立得.由于A、B两球质量m相同，套在同一水平杆MN上，角速度时刻相同，当两根细线拉直时，转动的半径之比恒为21，即rArB，因此由上式可知，细线所受拉力F的大小只与半径r有关，r越大，受力越大.即连接A球的AC线受力大，而AC、BC两根细线抗拉能力又相同，故当角速度增大时，AC线先断，选项A正确.答案：A4：有一光滑水平板，板的中央有一个小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m1和m2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（如图6-25）.若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速率圆周运动？图6-25解析该题用定恒观点和转化观点分别解答如下：解法一（守恒观点）选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时的线速度为v0，根据牛顿第二定律有 当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小，不足以维持小球在半径为R的轨道上继续做匀速率圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体m1逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小.假设物体m1上升高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为（R+h）的轨道上再次做匀速率圆周运动，根据牛顿第二定律有再选小球M、物体m1与地球所组的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒.选小球做匀速率圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时物体m1到水平板的距离为H，根据机械能守恒定律有：以上三式联立解得：.解法二（转化观点）与解法一相同，首先列出两式，然后再选小球、物体m1与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于系统的机械能守恒，所以小球M动能的减少量等于物体m1重力势能的增加量.即： 式联立解得：.评价比较上述两种解法可以看出，根据机械能守恒定律应用守恒观点列方程时，需要选零势面和找出物体与零势面的高度差，比较麻烦；如果应用转化观点列方程，则无需选零势面，往往显得简捷.注：角速度不同，绳子与转轴的夹角不同。5 ： 图6156ROA有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k的弹簧，如图6156所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端系一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，开始时弹簧未发生形变，长度为R。求：盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？当转速缓慢增大到2n0时，弹簧的伸长量x是多少？解析： 分析：（1）物体A随盘转动需要的向心力由其所受的摩擦力f提供，当物体A要开始滑动时，fmg。m(n0)Rmg即这时盘的转速：n0(g/R)（2）当转速达到2n0时，物体A所需的向心力将由弹力与摩擦力共同提供，故有：mgkxm(2n0)(Rx)，即 mgkxm2(g/R)(Rx)，x3mgR/(kR4mg)6 有一水平放置的圆盘，上面放一根劲度系数为k的轻弹簧，其一端固定于轴O上，另一端系着质量为m的物体A，物体A与盘面间最大静摩擦力为fm，弹簧原长为R0，如图5所示，求：盘的转速n0达到多大时，A开始相对于盘滑动？当转速达到2n0时，弹簧的伸长量x是多少？（未离开盘面）答案：注： 7:一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角，如图所示，一条长为L的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球（视作质点），小球以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动（小球和绳在图中都未画出） （1）当时，求绳子对小球的拉力； （2）当时，求绳子对小球的拉力。图115 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为30，如图115所示。一条长为L的细绳，一端拴着一个质量为m的物体。物体沿锥面在水平面内绕轴线以速度V做匀速圆周运动，求（1）当V时绳对物体的拉力；（2）当V时绳对物体的拉力。解：本题涉及临界条件是：物体对锥面压力为零时，物体的速度值。如图115，物体受重力mg、锥面的支持力N、绳的拉力T三个力作用，将三力沿水平方向和竖直方向分解，由牛顿第二定律得：TsinNcosm TcosNsinmg 由两式得：Nmgsinm 可见 ，一定，V越大，N越小，当V增大到某值V0时，N0时，即V0 因N为支持力，不能为负值，故当VV0时物体离开锥面，物体飘起绳与轴线夹角增大到某值。（1） 当V时VV0物体飞离锥面，此时物体只受重力mg和拉力T作用，设绳与轴线的夹角为: Tsin Tcosmg 将V代入两式消去可得 2T23mgTm2g2T0 解取合理值 T2mg【评注】本题涉及到物体随速度增大将要飘离锥面的临界问题，故要用临界分析法来解题。临界分析法，就是找出问题的临界条件，算出关键物理量的值进行分析比较，得出在不同条件下物体不同的状态，从而求出结果。本题关键在求出N0时的速度值即临界条件。8： 如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，铁块将以角速度做半径为r的匀速圆周运动，则在转动过程中，铁块分别在最高点时和最低点时电动机对地面的压力差是多大？解析：铁块在最高点时（2分）此时电动机（1分）联立得（1分）铁块在最低点时（2分）此时电动机（1分）联立得（1分）（4）摩擦力：9 :如图所示的水平转台上M=2.0Kg的木块放在离转台中心0.4米处，与转台间动摩擦因数=0.15，m用线穿过光滑小孔与M相连,m=0.5kg,要保持M与转台相对静止,转台的最大转速不能超过多大?最小转速不能小于多少?（ ）解析：（最小值）有向心运动趋势，向外， （最大值）有向心运动趋势，向内。 二、 圆周运动与直线运动、平抛运动的综合运用1， 碰钉问题：10 :如图所示，在光滑的水平面上钉相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动若细绳能承受的最大拉力是4N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是A、0.9s B、1.8s C、1.6s D、0.8s12解析：小球绕A以1m为半径转半圈，小球绕B以为半径转半圈，小球绕A以为半径转半圈， 绳断 解法二 ：解析： 设小球恰好断开时，运动半径为， 小球绕第三个半周时半径为，所以当小球绕完两半周接第三个半圆时绳子断开。时间为 巩固练习1，（郑州奥林匹克物理竞赛） BA0图4-224-224-224-22如图4-22所示,长为2L的轻绳,两端分别固定在一根竖直棒上相距为L的A、B两点，一个质量为m的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒以一定的角速度转动时，圆环以A为圆心在水平面上作匀速圆周运动，则此时轻绳上的张力大小为 ；竖直棒转动的角速度为 。答案: mg; 解析：设小圆环做圆周运动的半径为r，则由如图4-22所示可知： 由于小球在水平内做匀速圆周运动 2，在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R， 如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ B ）A ,B C D B解答：解：重物转到飞轮的最高点时，电动机刚要跳起时，重物对飞轮的作用力F恰好等于电动机的重力Mg，即F=Mg当电动机恰好不跳起时，飞轮对电动机的支持力等于电动机的重力，则飞轮的向心力：（M+m）g，由牛顿第二定律得：，即，点评：本题是临界问题，关键分析临界条件，并要灵活选择研究对象中档题3， (2006上海)如图所示，半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在 一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有 一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳开始时圆盘静止， 质点处在水平轴O的正下方位置现以水平恒力F拉细绳， 使两圆盘转动，若恒力 F=mg，两圆盘转过的角度= 时，质点m的速度最大若圆盘转过的最大角度=/3，则此时恒力F= 。答案:解析：质点m速度最大时，拉力F和重力mg对转动轴O的力矩是平衡的，故满足： 而 ，即；在第二中，外力F做的功增大了物体的机械能，力F作用点的位移为 ，所以满足： ，解得：4 如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为M的质点P，与穿过中央小孔H的轻绳一端连着.平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为a、角速度为1的匀速圆周运动.若绳子迅速放松至某一长度b而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周运动.求质点由半径a到b所需的时间及质点在半径为b的圆周上运动的角速度. 解法一本题考查利用圆周运动、离心运动以及运动的合成和分解等知识综合分析、处理问题的能力.要注意分析质点的运动过程，要明确绳松开后，向心力突然消失，质点沿切线方向飞出，沿光滑平板做匀速直线运动，这是该题的易错点.质点在半径为A的圆周上以角速度0做匀速圆周运动，其线速度为：va=0a图